Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения с некоторой вероятностью , где . Закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать с помощью формулы , определяющей вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение . Для дискретной случайной величины X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

где первая строкасодержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания)случайной величины,а вторая - их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

Так как события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. .

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат - вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (x₁, p₁), (x₂, р₂), … называютмногоугольником (или полигоном) распределения(см. рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Теперь можно дать более точное определение дискретной случайной величины.

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел таких, что ( ) и .

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Суммой (разностью, произведением) дискретной случайной величины X, принимающей значения с вероятностями , и дискретной случайной величины Y, принимающей значения с вероятностями , , называется дискретная случайная величина Z=X+Y (Z=X-Y, Z = X ∙ Y), принимающая значения ( , ) с вероятностями для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм (разностей , произведений ) соответствующие вероятности складываются.

Произведениедискретной случайной величины на число с есть дискретная случайная величина сХ, принимающая значения с вероятностями .

Две дискретные случайные величина X и Y называются независимыми, если события и независимы для любых и , т.е.

.

В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пример 5.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные - черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Решение:

Возможные значения случайной величины Х – числа белых шаров в выборке есть , , , . Вероятности их соответственно будут

, ,

, .

	0	1	2	3

Контроль: .