Точечные оценки математического ожидания и дисперсии

Пусть изучается случайная величина X с математическим ожиданием и дисперсией DX, причем оба параметра неизвестны.

Статистика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется ее точечной оценкой. То есть точечная оценка характеристики генеральной совокупности - это число, определяемое по выборке.

Пусть - выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений за случайной величиной X. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин , перепишем их в виде , т.е. под будем понимать значение случайной величины Х i-м опыте. Случайные величины можно рассматривать как n независимых компонент величины X. Поэтому , .

Теорема 9.2. Пусть - выборка из генеральной совокупности и , , . Тогда выборочное среднее - несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания MX.

Доказательство. Найдем математическое ожидание оценки :

^.

Отсюда по определению получаем, что - несмещенная оценка MX. Далее, согласно теореме Чебышева, для любого имеет место равенство

,

которое, согласно условию теоремы, можно переписать так:

или, что то же самое, . Согласно определению получаем, что - состоятельная оценка MX.

Можно показать, что при нормальном распределении случайной величины X эта оценка, т.е. , будет и эффективной. На практике во всех случаях в качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое, т.е. .

В статистике оценку математического ожидания принято обозначать через или , а не .

Имеет место равенство (вывод равенства мы опускаем)

.

(9.2)

Из равенства (9.2) следует, что , т.е. выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии DX. Поэтому выборочную дисперсию исправляют, умножив ее на , получая формулу .

Теорема 9.3. Пусть - выборка из генеральной совокупности и , . Тогда исправленная выборочная дисперсия - несмещенная состоятельная оценка дисперсии DX.

Примем без доказательства состоятельность оценки . Докажем ее несмещенность.

Доказательство. Имеем

,

т.е. . Отсюда по определению получаем, что - несмещенная оценка DX.

Отметим, что при больших значениях n разница между и очень мала и они практически равны, поэтому оценку используют для оценки дисперсии при малых выборках, обычно при n ≤ 30.

Теорема 9.4. Относительная частота появления события А в n независимых испытаниях является несмещенной состоятельной и эффективной оценкой неизвестной вероятности этого события (р - вероятность наступления события А в каждом испытании).

Отметим, что состоятельность оценки непосредственно вытекает из теоремы Бернулли.

Теорема 9.5. Эмпирическая функция распределения выборки является несмещенной состоятельной оценкой функции распределения случайной величины X.

Пример 9.1. Монету подбрасывают n раз. Вероятность выпадения гер­ба при каждом подбрасывания равна . В ходе опыта монета выпала гербом раз. Показать несмещенность оценки вероятности выпадения герба в каждом опыте.

Решение:

Число успехов ( ) имеет распределение Бернулли. Тогда

, .

Следовательно,

,

т.е.оценка - несмещенная.