Примеры вычисления производных, дифференциалов и раскрытия неопределенностей по правилам Лопиталя.

Пример 3.28.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.29.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.30.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.31.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.32.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.33.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.34.Найти производную функции по где

Решение.Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.35.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.28) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.36.Найти производную функции по

Решение.Согласно (3.28) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.37.Пусть издержки производства как функция от количества продукции имеют вид Найти предельные издержки производства при и .

Решение.По определению предельных издержек производства имеем

Ответ:

Пример 3.38.Количество продукции, выпускаемой за время , определяется формулой Вычислить производительность выпуска продукции в моменты времени

Решение.Так как то

Ответ:

Пример 3.39.Функция задана в параметрическом виде формулами и Найти .

Решение.Согласно (3.30) имеем

Ответ:

Пример 3.40.Функция задана в неявном виде формулой Найти

Решение.Дифференцируя обе части уравнения по получим:

Ответ:

Пример 3.40.Найти производную 6-го порядка от функции пользуясь формулой Лейбница.

Решение.Согласно (3.33), имеем

Ответ:

Пример 3.41.Найти производную второго порядка функции

Решение.Имеем

Ответ:

Пример 3.42.Найти дифференциал первого порядка функции

Решение.Согласно определению 3.8 имеем

Ответ:

Пример 3.43.Найти дифференциал второго порядка функции

Решение.Согласно (3.29) имеем

Ответ:

Пример 3.44.Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ:

Пример 3.45.Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ:

Пример 3.46.Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя и эквивалентными бесконечно малыми.

Решение.

Ответ:

Пример 3.47.Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ:

Пример 3.48.Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ: