Следствие теоремы Лейбница (свойство остатка знакочередующегося ряда).

При доказательстве теоремы Лейбница мы показали, что . Тогда очевидно, что и . Но так как остаток ряда также является знакочередующимся рядом, то

. (6.41)

Отметим, что вышеуказанное свойство остатка знакочередующегося ряда дает возможность оценивать погрешности при приближенных вычислениях.

Пример 6.6. Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд

. (6.42)

Решение. Заметим, что данный ряд не сходится абсолютно (см. пункт 6.3). Но так как и , то по признаку Лейбница ряд (6.42) сходится условно.

Ответ:Исходный ряд сходится условно.

Пример 6.7. Найти значение с точностью до .

Решение. Пользуясь рядом Тейлора для (см. пункт 6.2.3) имеем

(6.43)

Так как , то с точность до получим

Ответ:

Теорема 6.18. (достаточный признак Дирихле сходимости рядов с произвольными членами). Пусть имеем ряд с произвольными членами. Если последовательность

невозрастающая и , а ряд имеет ограниченную последовательность частичных сумм, то ряд сходится.

Пример 6.8. Исследуем на сходимость

. (6.44)

Решение. Возьмем . Очевидно, что монотонно убывает и . Остается оценивать последовательность частичных сумм ряда . Имеем Умножив обе части этого выражения на , получим Отсюда