Числовые ряды с произвольными членами. Достаточные признаки сходимости.

Если члены U_k ряда имеют произвольные знаки, то ряд называется рядом с произвольными членами.

Определение 6.7. Ряд с произвольными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Теорема 6.14. Из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Доказательство. По условию теоремы ряд сходится. Согласно критерию Коши (см. теорему 6.1) это означает, что

(6.30)

Оценим , пользуясь (6.30) и тем, что модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей. Имеем

(6.31)

при . А по критерию Коши (6.31) означает, что ряд сходится.

Теорема доказана.

Определение 6.8.Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, в то время, как соответствующий ряд из модулей расходится.

Теорема 6.15. (теорема Римана). Если ряд с произвольными членами сходится условно, то каково бы ни было наперед взятое число , можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу .

Теорема 6.16. Если данный ряд с произвольными членами сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Пример 6.5. Исследуем на сходимость ряд с произвольными членами .

Решение. Составим ряд из модулей .

Этот ряд является рядом с положительными членами. Так как

, (6.32)

а ряд сходится (см. пункт 6.3), то по первому признаку сравнения (см. теорему 6.7) ряд сходится. Тогда по теореме 6.14 исходный ряд также сходится.

Ответ:Исходный ряд сходится абсолютно.

Определение 6.9. Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки. Знакочередующийся ряд обозначается так

, (6.33)

где

Теорема 6.17. (достаточный признак Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда).

Если члены знакочередующегося ряда

, (6.34)

будучи взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то есть удовлетворяют следующим условиям

а) , (6.35)

б) , (6.36)

то знакочередующийся ряд сходится.

Доказательство. Частичная сумма ряда (6.34) четного порядка имеет вид

(6.37)

Согласно условию (6.35)

Тогда очевидно, что при не убывает. С другой стороны, выражение (6.37) для можно представить в виде

Так как , то ясно, что для справедливо неравенство . Таким образом, оказывается, что последовательность частичных сумм четного порядка не убывает и ограничена сверху. Как известно, такая последовательность сходится к некоторому числу