Область сходимости функционального ряда.

Определение 6.10. Формально написанная сумма

(6.45)

бесконечного числа членов функциональной последовательности называется функциональным рядом.

Предположим, что члены ряда (6.45) как функции от х, определены на множестве (оно является и множеством определения функционального ряда ). Фиксируем произвольную точку и рассмотрим ряд , являющийся числовым рядом.

Определение 6.11. Если числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке

Определение 6.12. Множество всех точек в которых сходится функциональный ряд , называется областью сходимости этого функционального ряда. Область сходимости функционального ряда может либо совпадать с областью определения данного ряда, либо составлять часть области определения данного ряда, либо вообще являться пустым множеством.

Если функциональный ряд сходится на некотором множестве , то это означает, что где предельная функция последовательности частичных сумм функционального ряда также определена на множестве и называется суммой этого ряда.

Пример 6.9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда

. (6.46)

Решение. Составим ряд из модулей

, (6.47)

являющимся для произвольного из области определения общего члена ряда (6.46) рядом с положительными членами. Воспользуемся признаком Даламбера и потребуем, чтобы ряд (6.47) сходился. Имеем

Отсюда . Крайние точки и нужно проверить по отдельности, подставляя эти значения в функциональный ряд (6.46). Итак, при и из (6.46) получаем следующие числовые ряды и , которые, как известно (см. пункт 6.3), расходятся. Окончательно получаем, что является областью сходимости функционального ряда (6.46).

Ответ:Область сходимости исходного ряда определяется неравенством

Пример 6.10. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда

,

общий член которого определен для всех .

Решение. Рассмотрим ряд из модулей . Так как , а ряд сходится, то по первому признаку сравнения, исходный ряд (6.47) абсолютно сходится для всех .

Ответ:Исходный ряд абсолютно сходится для всех

Определение 6.13. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на

множестве к своей сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к предельной функции

Заметим, что в символической форме определение 6.13 имеет вид

(6.48)

Теорема 6.19.(теорема Коши о необходимом и достаточном условии равномерной сходимости функционального ряда).

Для того, чтобы функциональный ряд на множестве необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 6.20. (достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

Если общий член функционального ряда определен на множестве и если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами такой, что для всех и для любого номера справедливо неравенство , то функциональный ряд сходится равномерно на множестве .

Доказательство. По условию теоремы ряд сходится. Согласно критерию Коши это означает, что

.

Составим и используем условие теоремы . Имеем

(6.49)

для всех . Тогда, согласно критерию Коши, функциональный ряд сходится равномерно на множестве .

Теорема доказана.

Замечание 6.4.Сходящийся числовой ряд называется мажорантом для функционального ряда .

Пример 6.11. Исследовать на равномерную сходимость ряд

. (6.50)

Решение. Так как для , то Если сходится, то он является мажорантом для функционального ряда (6.50) и, следовательно, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд (6.50) сходится равномерно.

Ответ:Исходный ряд сходится равномерно.

Ниже некоторые важные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов сформулируем в виде теорем.

Теорема 6.21. Если все члены функционального ряда непрерывны на сегменте

и если ряд сходится к своей сумме равномерно на сегменте , то и сумма этого ряда непрерывна на сегменте и имеет место соотношение

Замечание 6.5. Из теоремы (6.20) следует, что в равномерно сходящемся функциональном ряде можно местами поменять знаки суммы и предела.

Теорема 6.22. Если все члены функционального ряда непрерывны на сегменте и функциональный ряд сходится к своей сумме равномерно на сегменте , то указанный ряд можно интегрировать на сегменте почленно, то есть

(6.51)

Доказательство. Так как с учетом условий теоремы имеем

то фактически требуется доказать

(6.52)

Оценим величину по модулю , имея в виду непрерывность функций и (см. теорему 6.21), и пользуясь свойствами определенного интеграла (см. часть 1). Итак

.(6.53)

По определению равномерной сходимости функционального ряда к своей сумме имеем

(6.54)

Тогда согласно (6.54) из (6.53) получим, что для и для удовлетворяется неравенство

.

А последнее означает, что

Теорема доказана.

Замечание 6.6. Из теоремы (6.22) следует, что при интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда можно поменять местами знаки суммы и

интеграла.

Теорема 6.23.Если функции имеют производную на сегменте (на концах а и b существуют односторонние производные) и если ряд из производных сходится равномерно на сегменте , а сам функциональный ряд сходится хотя бы в одной точке , то функциональный ряд сходится равномерно на сегменте к некоторой сумме и этот ряд можно дифференцировать почленно на сегменте , то есть

. (6.55)

Пример 6.12. Пользуясь равномерной сходимостью функционального ряда, вычислить , если

. (6.56)

Решение.Так как для удовлетворяет условию , то . Тогда сходящийся числовой ряд является мажорантом для функционального ряда (6.56) и последний сходится к равномерно. По теореме (6.22) ряд (6.56) можно интегрировать почленно, то есть

Ответ: