Примеры решения задач в цепи второго порядка.

Задача 1.Переходный процесс в цепи второго порядка с постоянным источником питания и действительными различными корнями характеристического уравнения.

Рис. 1.65

Условие:

(В); (Ом);

(мГн); (мкФ).

Определить мгновенные значения токов, напряжения на катушке и емкости.

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

Источник отключен: ; ; .

В конце СУР: ; ; ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: , .

Рис. 1.66

3. Определим ЗНУ: в расчетной схеме, сформированной для момента времени , по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь, а по второму закону коммутации емкость закорачивает (рис. 1.66):

;

Определим начальные значения производных для токов и напряжений.

Из дифференциальных соотношений и найдем начальные значения двух производных:

Начальные значения производных от других функций определим из системы уравнений Кирхгофа послекоммутационной схемы. Система переписывается для производных, фиксируется для момента времени и подставляются уже найденные ранее значения и .

→ →

Решая последнюю систему, находим:

Итак, мы зафиксировали начальные значения всех функций и их производных.

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис.1.67):

Рис. 1.67

; ;

; .

Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1.68):

Рис. 1.68

или: ,

т. е: .

Решая уравнение, нашли:

Таким образом: ; .

Корни характеристического уравнения − действительные и различные.

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

, .

6. Запишем общее решение для и его производной :

7. Система уравнений для расчета постоянных интегрирования ( в общих обозначениях):

После подстановки начальных условий, получим:

Такая система обрабатывается для каждой конкретной функции. Две постоянные и для функции являются результатом решения этой системы.

8. Расчет постоянных интегрирования и решения для всех переходных функций:

Ток : или

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Рис. 1.69

Ток : или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Ток : или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Напряжение :

или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, напряжение равно:

Напряжение

9. Графики переходных функций в масштабе представлены на рис. 1.69. Здесь показаны слагаемые экспонент свободных функций, сами свободные функции и принужденные составляющие, если они имеются в решении. Характерные точки дифференциально-связанных функций совмещены по времени. Визуально просматриваются уравнения, записанные по законам Кирхгофа.

Задача 2.Переходный процесс в цепи второго порядка с постоянным источником питания и кратными корнями характеристического уравнения.

Рис. 1.70

Условие:

(В); (Ом);

(мГн); (мкФ).

Определить мгновенные значения токов, напряжения на катушке и емкости.

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

Источник отключен: ; ; .

В конце СУР: ; ; ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: , .

Рис. 1.71

;

Определим начальные значения производных для токов и напряжений.

Из дифференциальных соотношений и найдем начальные значения двух производных:

→ →

Решая последнюю систему, находим:

Итак, мы зафиксировали начальные значения всех функций и их производных.

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис.1.72):

Рис. 1.72

;

Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1.73):

Рис. 1.73

Решая данное уравнение, нашли:

Корни характеристического уравнения − действительные и различные.

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

, .

6. Запишем общее решение для и его производной :

7. Система уравнений для расчета постоянных интегрирования ( в общих обозначениях):

После подстановки начальных условий, получим:

8. Расчет постоянных интегрирования и решения для всех переходных функций:

Ток :

или

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Остальные функции определим, исходя из зависимостей на элементах цепи и из уравнений Кирхгофа:

Напряжение :

Следовательно, напряжение равно:

Ток :

Следовательно, ток равен:

Ток :

Рис. 1.74

Следовательно, ток равен:

Напряжение :

Напряжение

При расчете таким образом, остается возможность проверки по начальным и установившимся значениям токов.

9. Графики переходных функций в масштабе представлены на рис. 1.74. Здесь показаны слагаемые экспонент свободных функций, сами свободные функции и принужденные составляющие, если они имеются в решении. Характерные точки дифференциально-связанных функций совмещены по времени. Визуально просматриваются уравнения, записанные по законам Кирхгофа.

Задача 3.Переходный процесс в цепи второго порядка с постоянным источником питания и комплексно-сопряженными корнями характеристического уравнения.

Рис. 1.75

В;

Ом; мГн; мкФ.

Определить мгновенные значения токов, напряжения на катушке и емкости.

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

Источник отключен: ; ; .

В конце СУР: ; ; ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: , .

Рис. 1.76

;

Определим начальные значения производных для токов и напряжений.

Из дифференциальных соотношений и найдем начальные значения двух производных:

→ →

Решая последнюю систему, находим:

Итак, мы зафиксировали начальные значения всех функций и их производных.

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.77):

Рис. 1.77

; ;

; .

Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1.78):

Рис. 1.78

или: ,

т. е: .

Решая уравнение, нашли:

здесь: ,

Таким образом: ; .

Корни характеристического уравнения − комплексно−сопряженные.

здесь: ,

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

, .

6. Запишем общее решение для и его производной :

7. Система уравнений для расчета постоянных интегрирования (в общих обозначениях):

После подстановки начальных условий, получим:

8. Расчет постоянных интегрирования и решения для всех переходных функций:

Ток :

или

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Ток :

или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Ток :

или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Напряжение :

или

Отсюда получаем: и .

Следовательно, напряжение равно:

Напряжение

9. Построим графики для найденных функций (рис. 1.79).

Период колебания с.

Путем пропорционального перерасчета начальные фазы, можно выразить в радианах или в долях . Например для :

Начальная фаза в секундах:

→

Начальная фаза в долях :

Рис. 1.79

Задача 4.Переходный процесс в цепи второго порядка с синусоидальным источником ЭДС и с двумя индуктивностями.

Рис. 1.80

Условия:

(В);

(Ом);

(Гн).

Определить закон изменения тока , , .

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

В конце СУР:

;

2. Зафиксируем ННУ: ;

3. Определим ЗНУ для искомого тока по схеме замещения

(рис. 1.49) для момента времени .

Начальные значения источника ЭДС:

4. По первому закону коммутации индуктивность разрывает

ветвь, а индуктивность заменяется источником тока (рис. 1.81):

Рис. 1.81

;

Определим начальные значения производных для токов и напряжений.

Из дифференциального соотношения найдем начальные значения двух производных:

→ →

Решая последнюю систему, находим:

5. Рассчитаем НУР синусоидального тока. Принужденные составляющие искомых функций – частное решение неоднородного дифференциального уравнения – определим в виде синусоидальных токов, определяемых источником в послекоммутационной схеме:

Мгновенные значения для токов:

; ;

Как будет видно из дальнейшего расчета для токов, новый установившийся режим формируется не только этими частными решениями.

6. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень.

Сведем систему уравнений Кирхгофа нашей схемы к одному уравнению для тока :

Продифференцируем второе уравнение и с учетом первого уравнения системы, запишем:

Из третьего уравнения следует, что: . Значит:

или:

Для того, чтобы составить характеристическое уравнение цепи, отбросим правую часть и осуществим алгебраизацию однородного уравнения.

Мы проделали эту работу для Вас, читатель, чтобы убедительнее выглядели некоторые нижеследующие заключения.

Определим корни характеристического уравнения:

Решая уравнение, нашли:

;

Обратим внимание на то, что при формировании характеристического уравнения из структуры не следует сокращать числитель и знаменатель конструкции на общий множитель . Это привело бы к потере нулевого корня характеристического уравнения, то есть к потере постоянной составляющей в свободной функции

Рис. 1.82

При естественной обработке схемы выражение приводят к общему знаменателю, а общий множитель слагаемых числителя выносят за скобки.

Получается то же самое характеристическое уравнение с одним нулевым корнем. Если во втором слагаемом выражения сократить числитель и знаменатель на общий множитель , то получится конструкция , где потерян нулевой корень, и которая уже не может служить характеристическим уравнением цепи.

По той же причине при определении порядка цепи не следует объединять параллельные индуктивности. Это привело бы к потери сверхпроводящего индуктивного контура, а понижение порядка уравнения – к потере постоянной составляющей тока в этом контуре, которая является специфической особенностью рассматриваемой схемы.

7. Расчет токов в переходном режиме:

Корни характеристического уравнения действительные различные.

Решение в общем виде для свободной составляющей запишем в виде суммы двух экспонент.

или для тока :

для определения постоянных интегрирования запишем производную этой функции:

В полученные выражения подставим начальные условия : и . Получим систему алгебраических уравнений с неизвестными постоянными и .

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Токи и найдем также как результат интегрирования системы уравнений цепи:

Ток :

Известно, что и . Следовательно, мы также получим систему алгебраических уравнений с неизвестными постоянными и .

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

Ток :

Также известно, что и . Следовательно, мы снова получим систему алгебраических уравнений с неизвестными постоянными и .

Решая совместно два уравнения, получаем: и .

Следовательно, ток равен:

После расчета переходных функций в таком виде, остается возможность проверки полученных решений по независимым законам Кирхгофа.

8. Построим график для найденной функциитоков (рис. 1.83):

Рис. 1.83

Заданные параметры таковы, что период колебаний равен с, постоянная времени: с, свободные экспоненты затухают где-то за , то есть приблизительно за полпериода колебаний.

Как видно, для токов и новый установившийся режим формируется двумя первыми слагаемыми решения, то есть принужденной синусоидальной составляющей и свободной постоянной составляющей. И только в решении для тока он является синусоидальной функцией.

<9 10 111213 14 15 >

Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 3946;