Разряд конденсатора на сопротивление

И индуктивность

Рис. 1.84

Конденсатор , предварительно заряженный от постороннего источника до напряжения , разряжается после коммутации на сопротивление и индуктивность (Рис. 1.84). Внешних источников уже нет. Это свободный процесс. Наблюдается, пока накопленная до коммутации энергия не израсходуется на тепловые потери в сопротивлении .

На этом простейшем примере одноконтурной схемы рассматривается характер свободного процесса в цепи второго порядка.

СУР: ; .

ННУ: ; .

ЗНУ: ; .

НУР: ; .

Уравнение цепи для функции :

т.к.:

, ,

получим:

или

Уравнение однородное, описывает только свободный процесс. Значит, уравнение для тока имеет точно такой же вид.

Характеристическое уравнение цепи и его корни:

;

В зависимости от значений корней характеристического уравнения и различают три характера переходного процесса:

1. Апериодический процесс:

Корни и различные действительные отрицательные числа, что соответствует соотношению параметров (дискриминант больше нуля).

→ → ,

где − волновое характеристическое сопротивление контура.

Решение однородного уравнения и производная от этого решения:

Определение постоянных интегрирования по начальным условиям из системы алгебраических уравнений:

→ .

Решая систему, получили:

и .

Запишем окончательные решения для напряжения и других функций с учетом рассчитанных и :

Функции тока и напряжения записаны по дифференциальным соотношениям. В решении для тока произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета равно свободному члену .

Построение переходных функций:

Из анализа решений для корней характеристического уравнения и имеет что:

1.) ; 2.) ; 3.) ; 4.) .

С учетом этого, сопоставим характеристики слагаемых 1 и 2 в решениях:

Для напряжения :
1сл. > 0	2сл. < 0
‌\| 1сл.( + 0 ) \| > \| 2сл.( + 0 ) \|
1сл. затухает медленно	2сл. затухает быстро
Сумма двух экспонент разного знака с разными постоянными времени дает кривую с максимумом второго порядка и точкой перегиба.
Для тока :
1сл. < 0	2сл. > 0
\| 1сл.( + 0 ) \| = \| 2сл.( + 0 ) \|
1сл. затухает медленно	2сл. затухает быстро
Для напряжения :
1сл. > 0	2сл. < 0
‌\| 1сл.( + 0 )\| < \| 2сл.( + 0 ) \|
1сл. затухает медленно	2сл. затухает быстро

Рис. 1.85

Анализ решения:

1. Процесс называется апериодическим, т.к. функции тока и напряжения , подчиняющиеся законам коммутации, не меняют знака.

2. Во время переходного процесса ток отрицательный вследствие того, что конденсатор разряжается, а условные направления напряжения и тока приняты одинаковые.

3. Напряжение меняет знак. ПротивоЭДС по принципу Ленца сначала препятствует нарастанию тока, а затем препятствует его уменьшению, значит, меняет свое направление.

4. Энергетика процесса.

Рис. 1.86

Рис. 1.87

Знак мгновенной мощности определяет направление потоков энергии. Они отмечены стрелками на рис. 1.86 и на рис. 1.87. При >0 энергия воспринимается элементами схемы. При <0 – отдается им.

2. Предельный апериодический процесс:

При соотношении: , , корни действительные равные отрицательные числа.

Решение для напряжения и его производной :

Определение постоянных по начальным условиям:

→ и .

Математическая форма решения изменилась, но процесс сохранил свой характер, остался апериодическим.

Рис. 1.88

Построим, например ток (рис. 1.88). Форма кривой осталась прежней, но получена как результат перемножения изображенных на рисунке сомножителей.

Таким образом сохраняется та же форма кривых для напряжений: и . Но стоит перешагнуть норму , как характер процесса изменится.

3. Колебательный процесс:

При соотношении параметров , когда

корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

Компоненты корней

– коэффициент затухания;

– частота собственных незатухающих колебаний;

– частота свободных затухающих колебаний.

Решение для напряжения и его производная .

Сложение синусоид в комплексной плоскости (рис. 1.89):

Рис. 1.89

Подставим результат сложения в решение для , учитывая теперь начальную фазу:

Определение постоянных из начальных условий:

После их подстановки в решения, получим систему:

Решаем систему:

В последнем уравнении нулевым может быть только второй сомножитель, т.е. , откуда .

Тогда: (см. рис. 1.89), .

Искомые функции:

Здесь и в последующем решении учитывается, что есть волновое (характеристическое) сопротивление последовательного rLC контура:

Здесь также используется полученный выше результат сложения синусоид.

Итак, перепишем еще раз решения для свободных функций, записанных с использованием вторичных параметров.

Частный случай контура без потерь.

Компоненты вторичных параметров:

Переходные функции:

Рис. 1.90

Сразу после коммутации наблюдаем новый установившийся режим синусоидального тока. Свободные незатухающие колебания с частотой . Как при резонансе напряжений в LC контуре без потерь. Фазовая ориентация обычная для синусоидального режима. На рис. 1.90 показана векторная диаграмма мгновенных значений. Векторы напряжений и проектируются в амплитуды синусоид при . Период определяется по формуле Томпсона: .

Графики затухающих колебаний.

Рис. 1.91

Сначала строится ток , как затухающая синусоида, вписанная в экспоненциальный коридор (произведение незатухающей синусоиды и экспоненты). Потом напряжение . Затем напряжение вписываем в тот же коридор, что и , так чтобы . Максимумы затухающих синусоид находятся левее точек касания с экспонентами и не совпадают по времени с максимумом синусоидального сомножителя.