Разряд конденсатора на сопротивление
И индуктивность
Рис. 1.84 |
Конденсатор , предварительно заряженный от постороннего источника до напряжения , разряжается после коммутации на сопротивление и индуктивность (Рис. 1.84). Внешних источников уже нет. Это свободный процесс. Наблюдается, пока накопленная до коммутации энергия не израсходуется на тепловые потери в сопротивлении .
На этом простейшем примере одноконтурной схемы рассматривается характер свободного процесса в цепи второго порядка.
СУР: ; .
ННУ: ; .
ЗНУ: ; .
НУР: ; .
Уравнение цепи для функции :
,
т.к.:
, ,
получим:
,
или
.
Уравнение однородное, описывает только свободный процесс. Значит, уравнение для тока имеет точно такой же вид.
Характеристическое уравнение цепи и его корни:
.
;
.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения и различают три характера переходного процесса:
1. Апериодический процесс:
Корни и различные действительные отрицательные числа, что соответствует соотношению параметров (дискриминант больше нуля).
→ → ,
где − волновое характеристическое сопротивление контура.
Решение однородного уравнения и производная от этого решения:
.
Определение постоянных интегрирования по начальным условиям из системы алгебраических уравнений:
→ .
Решая систему, получили:
и .
Запишем окончательные решения для напряжения и других функций с учетом рассчитанных и :
Функции тока и напряжения записаны по дифференциальным соотношениям. В решении для тока произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета равно свободному члену .
Построение переходных функций:
Из анализа решений для корней характеристического уравнения и имеет что:
1.) ; 2.) ; 3.) ; 4.) .
С учетом этого, сопоставим характеристики слагаемых 1 и 2 в решениях:
Для напряжения : | |
1сл. > 0 | 2сл. < 0 |
| 1сл.( + 0 ) | > | 2сл.( + 0 ) | | |
1сл. затухает медленно | 2сл. затухает быстро |
Сумма двух экспонент разного знака с разными постоянными времени дает кривую с максимумом второго порядка и точкой перегиба. | |
Для тока : | |
1сл. < 0 | 2сл. > 0 |
| 1сл.( + 0 ) | = | 2сл.( + 0 ) | | |
1сл. затухает медленно | 2сл. затухает быстро |
Для напряжения : | |
1сл. > 0 | 2сл. < 0 |
| 1сл.( + 0 )| < | 2сл.( + 0 ) | | |
1сл. затухает медленно | 2сл. затухает быстро |
Рис. 1.85 |
Анализ решения:
1. Процесс называется апериодическим, т.к. функции тока и напряжения , подчиняющиеся законам коммутации, не меняют знака.
2. Во время переходного процесса ток отрицательный вследствие того, что конденсатор разряжается, а условные направления напряжения и тока приняты одинаковые.
3. Напряжение меняет знак. ПротивоЭДС по принципу Ленца сначала препятствует нарастанию тока, а затем препятствует его уменьшению, значит, меняет свое направление.
4. Энергетика процесса.
Рис. 1.86 | Рис. 1.87 |
Знак мгновенной мощности определяет направление потоков энергии. Они отмечены стрелками на рис. 1.86 и на рис. 1.87. При >0 энергия воспринимается элементами схемы. При <0 – отдается им.
2. Предельный апериодический процесс:
При соотношении: , , корни действительные равные отрицательные числа.
Решение для напряжения и его производной :
Определение постоянных по начальным условиям:
→ и .
Математическая форма решения изменилась, но процесс сохранил свой характер, остался апериодическим.
Рис. 1.88 |
Построим, например ток (рис. 1.88). Форма кривой осталась прежней, но получена как результат перемножения изображенных на рисунке сомножителей.
Таким образом сохраняется та же форма кривых для напряжений: и . Но стоит перешагнуть норму , как характер процесса изменится.
3. Колебательный процесс:
При соотношении параметров , когда
корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:
.
Компоненты корней
– коэффициент затухания;
– частота собственных незатухающих колебаний;
– частота свободных затухающих колебаний.
Решение для напряжения и его производная .
Сложение синусоид в комплексной плоскости (рис. 1.89):
Рис. 1.89 |
Подставим результат сложения в решение для , учитывая теперь начальную фазу:
.
Определение постоянных из начальных условий:
После их подстановки в решения, получим систему:
Решаем систему:
В последнем уравнении нулевым может быть только второй сомножитель, т.е. , откуда .
Тогда: (см. рис. 1.89), .
Искомые функции:
,
,
Здесь и в последующем решении учитывается, что есть волновое (характеристическое) сопротивление последовательного rLC контура:
Здесь также используется полученный выше результат сложения синусоид.
Итак, перепишем еще раз решения для свободных функций, записанных с использованием вторичных параметров.
Частный случай контура без потерь.
Компоненты вторичных параметров: | Переходные функции: |
Рис. 1.90 |
Сразу после коммутации наблюдаем новый установившийся режим синусоидального тока. Свободные незатухающие колебания с частотой . Как при резонансе напряжений в LC контуре без потерь. Фазовая ориентация обычная для синусоидального режима. На рис. 1.90 показана векторная диаграмма мгновенных значений. Векторы напряжений и проектируются в амплитуды синусоид при . Период определяется по формуле Томпсона: .
Графики затухающих колебаний.
Рис. 1.91 |
Сначала строится ток , как затухающая синусоида, вписанная в экспоненциальный коридор (произведение незатухающей синусоиды и экспоненты). Потом напряжение . Затем напряжение вписываем в тот же коридор, что и , так чтобы . Максимумы затухающих синусоид находятся левее точек касания с экспонентами и не совпадают по времени с максимумом синусоидального сомножителя.
Деформация характера.
Рис. 1.92 |
При , , и процесс переходит в апериодический. Значения и являются границами нормы, где при накоплении процесс приобретает новое качество.
Наложение свободного и принужденного процесса.
Рис. 1.93 |
Задача. Цепь с синусоидальным источником ЭДС (рис. 1.94). Наложение принужденных и свободных составляющих.
Рис. 1.94 |
Условие:
(В); (Ом);
(мГн); (мкФ).
Определить закон изменения тока .
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
Источник отключен: ; .
В конце СУР: ; .
2. Зафиксируем ННУ: ; .
3. Определим ЗНУ: .
Т.к. , то .
4. Рассчитаем НУР синусоидального тока, принужденную составляющую искомой функции и значение ее первой производной:
;
.
,
Принужденная составляющая искомой функции:
.
Начальное значение принужденной составляющей:
.
Первая производная принужденной составляющей искомой функции:
.
Начальное значение производной принужденной составляющей:
.
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень:
;
.
здесь:
коэффициент затухания , постоянная времени (с), угловая частота , период свободной составляющей (с).
6. Запишем общее решение в виде:
7. Определим постоянную интегрирования и искомую функцию:
или
Решая совместно два уравнения, получаем: и .
Следовательно, ток равен:
.
9. Построит графики для найденной функции (рис. 1.95):
Рис. 1.95 |
Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 847;