Примеры решения задач в цепи

Первого порядка.

Задача 1. Цепь с постоянным источником ЭДС (рис.1.33).

Рис. 1.33

( В ); ( Г );

( Ом ); ( Ом ).

Определить мгновенные значения токов, напряжение на катушке и сопротивлении .

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

Источник отключен: ; .

В конце СУР: ; ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: .

3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для (рис. 1.34):

Рис. 1.34

;

;

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.35):

Рис. 1.35

как напряжение короткого замыкания;

;

;

Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень:

Рис. 1.36

;

;

.

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

(с), (с).

Рис. 1.37

6. Определим постоянные интегрирования:

.

7. Запишем общее решение в виде:

.

Расчет сведем в таблицу:

	СУР	НУ	НУР	ПИ	ПФ
				-2
				-6

Определим напряжение

на сопротивлении :

.

8. Построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.37)

Задача 2. Переходный процесс в цепи с постоянным источником ЭДС при изменении параметров схемы (рис. 1.38).

Рис. 1.38

Условие:

( В ); ( Ом ); ( Ом ), ( мкФ ).

Определить функции изменения токов

и напряжения на конденсаторе.

Решение:

Рис. 1.39

1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций.

Нижнее сопротивление шунтировано ключом, емкость разрывает цепь постоянного тока.

;

;

.

2. Зафиксируем ННУ: .

Рис. 1.40

3. Определим ЗНУ по схеме замещения для (рис. 1.40).

Система уравнений не связана, и каждое решение находится для отдельно взятого уравнения:

;

; .

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.41):

Рис. 1.41

;

.

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 42):

Рис. 1.42

; ; .

Решая уравнение, нашли: ,

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

( с ), ( мс ).

6. Определим постоянные интегрирования:

Рис. 1.43

В общем виде:

.

Для конкретных функций:

;

.

.

7. Переменные функции:

.

Решение сведем в таблицу:

	СУР	НУ	НУР	ПИ	ПФ
				−1
				−3

8. Обратим внимание на начальную скорость изменения нарастания напряжения .

Если , то .

Значит, скоротечны электромагнитные переходные процессы.

Рис. 1.44

Задача 3. Цепь первого порядка со схемой замещения реального постоянного источника напряжения. Анализ работы источника по его вольтамперной характеристике (рис. 1.44).

Условие:

( В ); ( Ом ); ( Ом ); ( Ом ); ( мкФ ).

Рассчитать все переходные функции.

Решение:

1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций. Ключ «К» разомкнут, емкость не пропускает постоянный ток: ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: .

3. Определим ЗНУ по схеме замещения для методом узловых потенциалов (рис. 1.45).

Рис. 1.45

,

→ .

; ;

; .

4. Рассчитаем НУР постоянного тока:

; ;

; .

Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 46):

Рис. 1.46

; ;

.

Решая уравнение, нашли: ,

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

(с); (мс).

6. Определим постоянные интегрирования:

В общем виде: .

7. Переменные функции:

.

Решение сведем в таблицу. Так же построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.47).

В момент коммутации, как видно на графике (см. рис. 1.46), напряжение на полюсах ав источника моментально падает до величины его ЭДС (В) и (В), а режим работы источника по его вольтамперной характеристике мгновенно из точки, помеченной как , мгновенно перемещается в точку, помеченную как . Затем, за время всего переходного процесса режим работы сползает к точке, помеченной как до принужденных значений (В) и (А).

Конденсатор во время переходного процесса разряжается отрицательным током от начального (В) до установившегося напряжения (В).

На графиках представлена полная картина переходного процесса. Здесь прослеживаются все уравнения цепи:

Нагрузка подключается непосредственно к полюсам источника. Поэтому напряжения и во время переходного процесса совмещены.

Рис. 1.47

Задача 4. Переходный процесс в цепи первого порядка с двумя емкостями и с постоянным источником питания (рис. 1.48).

Рис. 1.48

Условие:

( В ); ( Ом ); ( мкФ ), ( мкФ ).

Определить функции изменения токов

и напряжения на конденсаторах.

Решение:

1. В старом установившемся режиме (рис. 1.49) цепь представляет собой

Рис. 1.49

электростатическую систему. Нужно разделить напряжение источника между двумя последовательно соединенными емкостями. Объединенные прокладки последовательных конденсаторов имеют один общий заряд , то есть . Значит: .

Из второго уравнения Кирхгофа:

,

,

Следовательно:

.

2. Зафиксируем ННУ: .

.

3. Определим ЗНУ. По схеме замещения для момента времени

Рис. 1.50

(рис. 1.50) из-за идеализации источника питания не позволяет определить начальные значения токов и . Но можно рассчитать ток в третьей ветви:

.

Значит, постоянные интегрирования будем находить только для трех функций: , и .

4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.51):

Рис. 1.51

;

;

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 52):

Рис. 1.52

;

.

Решая уравнение, нашли:

.

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

, (мс).

Рис. 1.53

6. Определим постоянные интегрирования:

В общем виде:

.

Для конкретных функций:

;

7. Переходные функции:

.

Решение сведем в таблицу:

	СУР	НУ	НУР	ПИ	ПФ
				−1
				−3

Токи в емкостях найдем из дифференциальных зависимостей;

.

Для токов и напряжения наблюдается только свободный процесс.

8. Графики переходных функций (рис.1.53).

9. Другой вариант коммутации в этой же схеме (рис. 1.54):

Рис.1.54

Просмотрим бегло все позиции расчета переходного процесса.

1) СУР и ННУ:

; ;

.

2) НУР – такой же, как и старый.

Значит:

, .

3) Характеристическое уравнение то же

самое, что и в первом варианте.

4) Переходные функции:

,

,

.

В цепи не будет переходного процесса. Это предсказуемый результат. Незаряженный конденсатор подключается на нулевое напряжение. Очевидно, что ничего не произойдет.

10. Еще один вариант коммутации в заданной схеме (рис.1.55):

Рис.1.55

Емкостный контур, как и в первом варианте задачи, понизит порядок дифференциального уравнения до первого. Но в силу физических законов коммутации источник не в состоянии мгновенно поделить своё напряжение между емкостями левого контура, что делает предположение о мгновенной коммутации некорректным. Это небольшой аванс читателю. Расчет переходных процессов в цепях с некорректной коммутацией рассмотрим в следующей главе.

Задача 5. Цепь с синусоидальным источником ЭДС (рис.1.56).

Рис. 1.56

Условия:

(А);

(Ом); (Ом);

(мкФ).

Определить закон изменения тока

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

,

,

,

,

,

В конце СУР: ; .

2. Зафиксируем ННУ: .

3. Определим ЗНУ для искомого тока по схеме замещения (рис. 1.55) для .

Начальные значения источника тока:

.

В схеме один независимый контур. Для расчета выбираем метод контурных токов (одно уравнение для контура ( I )). Ток во второй ветви формируется только одним контурным током: . Второй контурный ток задается только источником тока: . Контурная ЭДС формируется только одним источником: :

Рис. 1.57

.

Откуда имеем:

.

С учетом этого уравнения запишем так:

,

или:

.

4. Рассчитаем НУР синусоидального тока и принужденную составляющую искомой функции:

;

Начальные значение принужденной составляющей:

.

Период: .

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1. 58):

Рис. 1.58

,

,

Решая уравнение, нашли: .

Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:

(с), (с).

Переходный процесс практически заканчивается за время одного периода.

6. Определим постоянные интегрирования:

В общем виде: .

Следовательно, для тока : .

7. Переменная функция:

В общем виде: .

Тогда, для тока :

.

8. Построим график для найденной функции(рис. 1.59):

Рис. 1.59

Задача 6.Реакция цепи первого порядка на импульсное возмущение экспоненциальной формы (рис.1.60.)

Рис. 1.60

Определить законы изменения всех токов и напряжения на источнике питания.

Решение:

1. Рассмотрим СУР.

Источник отключен: ; .

В конце СУР: ; ; .

2. Зафиксируем ННУ: .

3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для :

.

4. Новый установившийся режим − нулевой. Не может служить частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

5. Уравнения цепи:

Из системы:

для тока получим: ; ; ;	для тока получим: ; ;
Обозначив , запишем уравнения в конечной форме:

Коэффициенты левой части уравнения одинаковы. Различают только свободные члены (правые части).

6. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Ищем в виде правой части. ( Метод неопределенных коэффициентов).

Для тока : ;	Для тока : ;
Подставим эти решения в уравнения для токов:
;	;
После сокращения на общий множитель, получим:
;	;
Отсюда и находятся неопределенные ранее коэффициенты:
;	;
тогда:

7. Постоянные интегрирования:

Для тока :

Для тока :

8. Характеристическое уравнение и его корень:

;

.

9. Переходные функции: .

Для тока : .	Для тока : .
.

6. Проверка:

;

.

7. Переходные функции и графики при:

(А); ( 1/с); (А); (Ом); (Гн.).

Тогда:

(1/с);

(1/с).

Постоянные времени и время переходного процесса:

(с);

(с).

(с).

В схеме один накопитель. Это цепь первого порядка, но переходные функции как в цепи второго порядка. Это источник сформировал принужденную составляющую в форме свободной экспоненты.

Графики представлены на рис. 1.61

Рис. 1.61