Корни характеристического уравнения и решение для свободной функции

Если цепь описывается уравнением второго порядка, свободная составляющая содержит два слагаемых:

(1).

где и - корни квадратного характеристического уравнения.

Они могут быть :

− действительными различными числами;

− действительными равными числами;

− комплексно-сопряженными числами.

Во всех случаях действительные компоненты – отрицательные.

Корни характеристического уравнения определяют характер переходного процесса (форму переходной функции). Поэтому уравнение и называют характеристическим. Т.о. возможны три варианта:

1. Решение (1) является универсальным, но непосредственно срабатывает только при действительных различных корнях.

2. При действительных равных корнях отыскание решения в форме (1) в каждом конкретном случае приведет к неопределенности вида 0/0. После раскрытия ее по правилу Лапиталя получается конкретный результат, который можно получить сразу, отыскивая решение в виде:

(2).

3. Используя формулу (1) при комплексно-сопряженных корнях мы получим два комплексно-сопряженных слагаемых, которые сворачиваются по формулам Эйлера и образуют обязательно действительную функцию. К тому же результату можно прийти, если отыскивать решение в виде:

(3).

Здесь: и − компоненты корней характеристического уравнения: .

Во всех приведенных решениях есть две постоянные интегрирования: и или и .

Рис. 1.63

Рис. 1.62.

4. Возможен нулевой корень, который дает в решении постоянную свободную составляющую (ток в индуктивном контуре без потерь (рис 1.62), напряжение на последовательно соединенных емкостях (рис. 1.63).

5. Два мнимых сопряженных корня дают незатухающую свободную синусоиду (свободные колебания в идеальном колебательном контуре).