Сложный сигнал и ряд Фурье

На рис.3 показан двумерный вектор F в комплексной плоскости. Этот вектор имеет действительную составляющую а в направлении действительной оси и мнимую составляющую ib в направлении мнимой оси. Вектор F представлен суммой этих составляющих, то есть

Вектор F целесообразно представить при помощи его амплитуды (модуля) и фазового угла q. Из рис.3 следует, что составляющие вектора F полярных и прямоугольных координатах связаны друг с другом соотношениям (13)

Из последних выражений следует, что:

Рис.3. Двумерный вектор в комплексном представлении

Учитывая формулу Эйлера, вектор F можно представить комплексным вектором (экспоненциалом)

.

Комплексно сопряженным вектором F* называется вектор, имеющий с вектором F одну точку приложения (в данном случае это точка 0), одинаковую абсолютную величину (в данном случае |F|) и одинаковый по абсолютной величине, но взятый с противоположным знаком полярный угол q.

Пусть вектор F равномерно вращается вокруг точки 0 и его абсолютная величина |F| при этом не изменяется. Тогда фазовый угол является линейно изменяющейся функцией времени

,

(14)

где обозначения соответсвуют (12). Используя зависимость для угловой частоты, получим

,

(15)

где f- частота, f=1/T, где Т- период.

Из сказанного следует, что ехр(if₀) является единичным вектором с соответствующим фазовым углом f₀.

Простая гармоника с амплитудой А, исходным фазовым углом q и частотой показана на рис.4,а. Соответствующее графическое представление невыгодно с точки зрения того, что горизонтальная ось (ось X) является осью как времени, так и фазового угла. Кроме того, полезное для математической обработки представление отрицательных частот или бессмысленно или, по меньшей мере, неясно.

На рис.4,6 показано представление гармонической составляющей в виде суммы двух векторов, вращающихся в противоположных друг другу направлениях и имеющих каждый амплитуду A/2. Один из этих векторов имеет исходный фазовый угол q и вращается с частотой f, в то время как другой имеет исходный угол - q и совершает вращательное движение с частотой - f. Отрицательная частота при векторном представлении имеет ясный физический смысл и указывает на происходящее с отрицательным знаком изменение фазового угла и, по существу, необходима для описания вращения векторов в противоположных друг другу направлениях.

Рис.4,6 показывает положение составляющих векторов в начале отсчета времени. При вращении этих векторов результат их векторного сложения всегда совпадает с действительной осью (мнимые составляющие аннулируют друг друга) и соответствуют показанной на рис.4,а синусоиде. Эквивалентность представлений на рис.4,а и 4,6 определена математическим равенством

,

(16)

Итак:

анализ искомого решения уравнения движения механической сиcтемы сводится прежде всего к оценке параметров отдельной гармоники с частотой f;

из полученного результата возникает вопрос и возможности представления действительного числа в виде суммы вида

,

Рис.4. Гармоническая составляющая A cos(2pft + f) (a);

гармоническая составляющая, представленная векторной суммой вращающихся в противоположных друг другу направлениях двух векторов (б)

Математической основой частотного анализа периодической функции является ее разложение в ряд Фурье. Преобразование Фурье принимает различные формы в зависимости от вида анализируемых функций. Однако все виды преобразования Фурье имеют общим предположение того, что исследуемые сигналы состоят из определенного (возможно бесконечного) числа синусоидальных и/или косинусоидальных составляющих (гармоник) с различными частотами, причем отдельные составляющие имеют определенные амплитуды и фазовые углы.

Если функция f(t) периодическая с периодом Т = 2l, то функциональный ряд вида

,

(17)

является комплексной формой ряда Фурье. Комплексные коэффициенты С определяются по формуле

, (n=0,±1, ±2, ±3,…)

(17)

Выражения называются гармониками, а числа аn=np/l называются волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром.

Возможны и другие формы записи выражения (17)

,

(18)

где wn = n f.

Таким образом, любой периодический сигнал может быть представлен в виде суммы простых гармоник.