ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Исходная система линейных алгебраических уравнений

a11х1 + а12х2 + … + а1nxn = b1

a21х1 + а22х2 + … + а2nxn = b2

……………………………..

an1х1 + аn2х2 + … + аnnxn = bn

преобразуется к виду

х1 = (1/a11)(b1 – а12х2 – … – а1nxn)

х2 = (1/a22)(b2 – а21х1 – … – а2nxn) …............ (1)

xn = (1/ann)(bn – аn1х1 – … – аn(n-1)xn-1)

при обязательном условии aii ¹ 0, i = 1, …, n.

Преобразованная система решается поэтапно:

1) задаются начальные (нулевые) значения неизвестных xi(0), i = 1,…,n;

2) значения хi(0) подставляются в правые части уравнений и тем самым определяются следующие приближения неизвестных xi(1), i = 1, … n;

3) подстановкой полученных значений xi(1) находится следующее приближение и т. д.

Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система примет вид:

х1(k) = (1/a11)(b1 – а12х2(k-1) – … – а1nxn(k-1))

х2(k) = (1/a22)(b2 – а21х1(k-1) – … – а2nxn(k-1))

……………………………..

xn(k) = (1/ann)(bn – аn1х1(k-1) – … – аn(n-1)xn-1(k-1))

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения xi, полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения e, т. е. до выполнения условия

|xi(k+1) – xi(k)| < e, i = 1, … n. (2)

Для выполнения условия (2) при любой заданной точности решения, т.е. при любом сколь угодно малом значении e, необходимо, чтобы

(3)

где xi* —точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (3) для произвольного начального приближения xi(0), i = 1, ..., n итерационный процесс называется сходящимся, в противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Для сходимости итерационного процесса, условием которого служит матричное соотношение , при любом столбце начальных приближений х(0), необходимо выполнение достаточного условия сходимости:

(4)

или в общем случае

(5)

где pi, pj – положительные вещественные числа.

В частном случае, при pj = l, j = 1, ..., n, условие (5) переходит в (4). Однако если достаточное условие сходимости (4) не выполняется, то в некоторых случаях можно найти такие pj, при которых выполняется условие (5).

 








Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 437;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.