ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Исходная система линейных алгебраических уравнений
a11х1 + а12х2 + … + а1nxn = b1
a21х1 + а22х2 + … + а2nxn = b2
……………………………..
an1х1 + аn2х2 + … + аnnxn = bn
преобразуется к виду
х1 = (1/a11)(b1 – а12х2 – … – а1nxn)
х2 = (1/a22)(b2 – а21х1 – … – а2nxn) …............ (1)
xn = (1/ann)(bn – аn1х1 – … – аn(n-1)xn-1)
при обязательном условии aii ¹ 0, i = 1, …, n.
Преобразованная система решается поэтапно:
1) задаются начальные (нулевые) значения неизвестных xi(0), i = 1,…,n;
2) значения хi(0) подставляются в правые части уравнений и тем самым определяются следующие приближения неизвестных xi(1), i = 1, … n;
3) подстановкой полученных значений xi(1) находится следующее приближение и т. д.
Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система примет вид:
х1(k) = (1/a11)(b1 – а12х2(k-1) – … – а1nxn(k-1))
х2(k) = (1/a22)(b2 – а21х1(k-1) – … – а2nxn(k-1))
……………………………..
xn(k) = (1/ann)(bn – аn1х1(k-1) – … – аn(n-1)xn-1(k-1))
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения xi, полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения e, т. е. до выполнения условия
|xi(k+1) – xi(k)| < e, i = 1, … n. (2)
Для выполнения условия (2) при любой заданной точности решения, т.е. при любом сколь угодно малом значении e, необходимо, чтобы
(3)
где xi* —точные решения исходной системы уравнений.
При выполнении (3) для произвольного начального приближения xi(0), i = 1, ..., n итерационный процесс называется сходящимся, в противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.
Для сходимости итерационного процесса, условием которого служит матричное соотношение , при любом столбце начальных приближений х(0), необходимо выполнение достаточного условия сходимости:
(4)
или в общем случае
(5)
где pi, pj – положительные вещественные числа.
В частном случае, при pj = l, j = 1, ..., n, условие (5) переходит в (4). Однако если достаточное условие сходимости (4) не выполняется, то в некоторых случаях можно найти такие pj, при которых выполняется условие (5).
Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 435;