ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Исходная система линейных алгебраических уравнений

a₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n = b₁

a₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а₂_nx_n = b₂

……………………………..

a_n₁х₁ + а_n₂х₂ + … + а_nnx_n = b_n

преобразуется к виду

х₁ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂ – … – а₁_nx_n)

х₂ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁ – … – а₂_nx_n) …............ (1)

x_n = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁ – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1)

при обязательном условии a_ii ¹ 0, i = 1, …, n.

Преобразованная система решается поэтапно:

1) задаются начальные (нулевые) значения неизвестных x_i⁽⁰⁾, i = 1,…,n;

2) значения х_i⁽⁰⁾ подставляются в правые части уравнений и тем самым определяются следующие приближения неизвестных x_i⁽¹⁾, i = 1, … n;

3) подстановкой полученных значений x_i⁽¹⁾ находится следующее приближение и т. д.

Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система примет вид:

х₁⁽^k⁾ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂⁽^k^-1) – … – а₁_nx_n⁽^k^-1))

х₂⁽^k⁾ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁⁽^k^-1) – … – а₂_nx_n⁽^k^-1))

……………………………..

x_n⁽^k⁾ = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁⁽^k^-1) – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1⁽^k^-1))

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x_i, полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения e, т. е. до выполнения условия

|x_i⁽^k⁺¹⁾ – x_i⁽^k⁾| < e, i = 1, … n. (2)

Для выполнения условия (2) при любой заданной точности решения, т.е. при любом сколь угодно малом значении e, необходимо, чтобы

(3)

где x_i^* —точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (3) для произвольного начального приближения x_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., n итерационный процесс называется сходящимся, в противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Для сходимости итерационного процесса, условием которого служит матричное соотношение , при любом столбце начальных приближений х⁽⁰⁾, необходимо выполнение достаточного условия сходимости:

(4)

или в общем случае

(5)

где p_i, p_j – положительные вещественные числа.

В частном случае, при p_j = l, j = 1, ..., n, условие (5) переходит в (4). Однако если достаточное условие сходимости (4) не выполняется, то в некоторых случаях можно найти такие p_j, при которых выполняется условие (5).

<3 4 567 8 9 >

Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 359;