ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ

1. Сложение (вычитание) матриц.Суммой (разностью) двух матриц А = (а_ij) и B = (b_ij), имеющих одинаковое количество строк и столбцов, называется матрица С = (с_ij), элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В (с_ij = а_ij ± b_ij).

2. Умножение матрицы на скалярную величину. Произведением матрицы А = (а_ij) на число α называется матрица, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на число α.

3. Умножение матриц А и В возможно только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом элементы матрицы произведения С = А×В определяются следующим образом: элемент с_ij i-той строки и j-того столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

При

А = (а_ij), i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m;

B = (b_ij), i = 1, 2, ..., р; j = 1, 2, ..., q;

получим

С = А×В = (с_ij), i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., q, где

4. Транспонирование матрицы.При транспонировании матрицы строки становятся столбцами, а столбцы строками.

5. Обращение матрицы.Данная операция относится к квадратичным матрицам при условии, что определитель матрицы отличен от нуля (|А| ≠ 0).

Обратной матрицей по отношению к исходной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на исходную матрицу дает единичную матрицу:

А×А^-1 = А^-1×А = 1.

Для обращения матриц небольшой размерности используют метод присоединения матрицы. Согласно этому методу обратная матрица вычисляется по выражению:

где |А| – определитель исходной матрицы, С^Т – транспонированная матрица алгебраических дополнений исходной матрицы: