Основные случайные величины

Любой сходящийся интеграл от неотрицательной функции порождает непрерывное распределение. Именно, если  j(x)dx=I, то роль плотности играет

p(x)=

Любая конечная сумма или сходящийся ряд с неотрицательными слагае­мыми порождает дискретное распределение. Именно: если q_k=S, то роль дискретных вероятностей играют p_k= q_k, а в качестве x_kможно взять любые числа; наиболее простой выбор: x_k=k.

Рассмотрим конкретные примеры.

1°. Равномерное распределение. Его порождает интеграл dx=b-a.

p(x)=

Этот закон распределения будем обозначать R(a, b); числа a и b называются параметрами распределения. Тот факт, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a, b], будем обозначать следующим образом: X~R(a, b).

В частности, плотность случайной величины X~R(0, 1) имеет наиболее простой вид:

p(x)=

Функция распределения такой случайной величины равна:

F(x)=

Если мы наугад выбираем точку на отрезке [0, 1], то её абсцисса x является конкретным значением случайной величины X~R(0, 1). Слово ''наугад" имеет в теории вероятностей терминологическое значение и говорится с целью подчеркнуть, что соответствующая непрерывная случайная величина распределена равномерно, или дискретная случайная величина имеет конечное число N возможных равновероятных значений.

2°. Экспоненциальное распределение.

Его порождает интеграл e^-mxdx= , m>0.

p(x)=

me^-mx, если x³0,
0, если x<0,

F(x)=

1-me^-mx, если x³0,
0, если x<0.

То обстоятельство, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону, будем записывать так: X~Exp(m), m называется параметром распределения (m>0).

3°. Распределение Коши. Его порождает интеграл dx=p.

Плотность вероятности: p(x)= , -¥<x<+¥.

4°. Гамма-распределение. Его порождает интеграл, который определяет гамма-функцию: G(l)= e^-tt^l-1dt, l>0. Выполним в этом интеграле замену переменной, положим: t=mx, m>0:

G(l)=m^l e^-mxx^l-1dx.

p(x)=

x^l-1e^-mx, если x>0,
0, если x£0.

Будем обозначать это распределение G(l, m), l и m – параметры распределения (l>0, m>0).

5°. Нормальное распределение. Его порождает интеграл Пуассона:

I= dx= .

Докажем это равенство. Интеграл бы легко вычислялся, если бы подынтегральное выражение содержало множитель x. Такой множитель можно ввести под знак интеграла с помощью следующего остроумного приёма.

Запишем квадрат интеграла в следующем виде:

I²= dx× dy,

а теперь представим произведение интегралов как двойной интеграл:

I²= dxdy.

Перейдём в этом интеграле к полярным координатам. Положим: x=rcosj, y=
=rsinj, и ещё вспомним, что абсолютная величина якобиана при переходе от декартовых координат к полярным равна r. Заметим, наконец, что областью интегрирования двойного интеграла является вся плоскость, так что границы изменения переменных r и j, соответственно, таковы: rÎ[0; +¥), jÎ[0; 2p). Поэтому:

I²= dj rdr.

Теперь легко убедиться, что rdr=1, а потому I²=2p.

Распределение с плотностью

p(x)= , xÎ(-¥; +¥)

называется стандартным нормальным законом и обозначается N(0, 1).

Ему соответствует функция распределения:

F₀(x)= dx.

Обычно принято табулировать интеграл

F(x)= dx,

называемый интегралом ошибок или интегралом Лапласа. Функция распределения стандартного нормального закона просто выражается через этот интеграл:

F₀(x)= + F(x).

Если в интеграл Пуассона ввести параметры масштаба и сдвига с помощью замены переменной, заменив x на , то он примет вид:

dx=1.

Случайную величину с плотностью вероятности

p(x)= , xÎ(-¥; +¥),

называют нормально распределённой случайной величиной или просто нормальной. Соответствующий ей закон распределения обозначают N(a, s), a и s – параметры распределения (s>0, a – любое вещественное число).

График p(x) представлен на рис. 1.

p(x) x a O Рис. 1.

a – точка максимума p(x), его значение равно . Так как площадь под кривой всегда равна единице, то чем меньше s, тем больше вероятности сосредоточивается вблизи максимума. Таким образом, устанавливаем вероятностный смысл параметров нормального закона: областью наиболее вероятных значений нормальной случайной величины является окрестность точки a, а s указывает на степень концентрации вероятности в окрестности точки a – чем меньше s, тем менее вероятны заметные отклонения X от a.

Функцию распределения произвольного нормального закона легко выразить через интеграл Лапласа. Для этого нужно в выражении для функции распределения

F(x)= dx

выполнить замену переменной, положив =y:

F(x)= dy= + F( ).

6°. Геометрическое распределение. Его порождает геометрическая прогрессия:  = q^k-1, 0<q<1.

Соответствующая дискретная случайная величина имеет возможные значения x_k=k, k=1, 2, ¼ с вероятностями p_k=(1-q)q^k-1. Обозначение геометрического распределения: G(q), q – параметр распределения (0<q<1).

7°. Пуассоновское распределение. Его порождает разложение в ряд показательной функции: e^l= , l>0, которому отвечает дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения x_k=k, k=0, 1, 2, ¼ с вероятностями p_k= .

Будем обозначать это распределение через P(l), l – параметр распределения (l>0).

8°. Биномиальное распределение. Его порождает формула бинома Ньютона: (p+q)ⁿ= p^mq^n-m.

Чтобы сумма вероятностей распределения p_kравнялась единице и все они были положительными, возьмём p>0, q>0, p+q=1, т. е. q=1-p. Возможными значениями будем считать x_k=k, k=0, 1, 2, ¼ , n, а их вероятностями – p_k= p^kq^n-k. Обозначим это распределение B(n, p), n и p – параметры распределения (0<p<1, nÎN, т. е. n – натуральное число).

Биномиальная случайная величина появляется, например, в схеме Бернулли, называемой также схемой последовательных независимых испытаний. Состоит она в следующем: осуществляется некоторый комплекс условий, при котором мы имеем одно и только одно из двух событий: либо "успех", либо "не­удачу", причём вероятность "успеха" равна p, вероятность "неудачи" равна q=
=1-p; эта попытка независимым образом повторяется n раз. Считая опытом все n попыток, можем считать элементарным событием опыта цепочку длины n, полученных в результате опыта "успехов" (У) и "неудач" (Н): УУУННУ
Н¼У.

Определим случайную величину X, задав её как число успехов в одном опыте. Событию {X=k} благоприятствуют те элементарные события, которые содержат "успех" ровно k раз, а "неудачу" – остальные n-k раз. Число таких благоприятствующих событию {X=k} элементарных событий, равно, очевидно, , а вероятности всех их одинаковы и по теореме умножения для независимых событий равны p^kq^n-k. Окончательно получаем: P{X=k}= p^kq^n-k, а возможными значениями случайной величины X оказываются числа x_k=k, k=
=0, 1, 2, ¼ n. Таким образом, число успехов X в схеме Бернулли – биномиальная случайная величина: X~B(n, p).

Пусть имеется вероятностное пространство (W, Å, P(×)) и рассматривается некоторое событие A. Обозначим его вероятность P(A)=p. Пусть испытание независимым образом повторяется n раз, причём событие A в этих n последовательных попытках наблюдалось k раз. Число k называется абсолютной частотой события A. Оно является конкретным значением случайной величины X, определённой на серии из n независимых испытаний. Ничто не мешает объявить событие A "успехом", а событие – "неудачей". Это превращает последовательность из n испытаний в схему Бернулли, а абсолютная частота события A оказывается распределённой по закону Бернулли.

Геометрическое распределение также просто связано со схемой Бернулли: будем повторять попытку до появления первого "успеха". Элементарным событием в таком опыте является цепочка, у которой "успех" расположен только на последнем (k-м) месте, а на всех предыдущих местах (а их k-1) – только "не­удачи": ННННН¼НУ. Свяжем с этим опытом случайную величину X – общее число попыток в опыте. Очевидно, значениями этой случайной величины могут быть x_k=k, k=1, 2, 3, ¼ , а их вероятности p_k=q^k-1p, что и совпадает с геометрическим распределением G(p).