Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей

I. Любому событию A из поля событий Å приведено в соответствие неотрицательноечисло P(A), называемое вероятностью события A.

II. P(W)=1: вероятность достоверного события равна единице.

III. Аксиома сложения. Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Если A₁, A₂, ¼ , A_n– попарно несовместимые события, то

P(A₁+A₂+¼+A_n)= P(A_k).

Тройка (W, Å, P(×)) называется вероятностным пространством.

Таким образом, поле событий Å является областью определения вероятностной функции P(×), при этом, как будет показано ниже (4°), отрезок [0; 1] является областью её значений.

Все пятнадцать формул исчисления вероятностей оказываются следствием трёх только что введённых аксиом. Действительно:

1°. P(W)=1 по II аксиоме.

2°. W+Æ=W, WÆ=Æ, поэтому по III аксиоме: P(W)+P(Æ)=P(W), откуда P(Æ)=0.

В классической схеме были справедливы и обратные утверждения: если P(A)=1, то событие A – достоверное; если P(A)=0, то событие A – невозможное. В общей же схеме обратные утверждения, вообще говоря, ошибочны. При­ходится вводить особые названия для событий единичной и нулевой вероятности: если P(A)=1, то говорят, что событие A происходит почти наверное, если P(A)=0, говорят, что событие A почти наверное не происходит. Пожалуй, именно это различие значительно усложняет строгую теорию вероятностей по сравнению с классическим случаем.

3°. A+ =W и A =Æ. Поэтому по аксиомам III и II: P(A)+P( )=P(W)=1. Отсюда: P( )=1-P(A).

4°. По аксиоме I: P(A)³0. Так как P(A)+P( )=P(W)=1, и, ввиду аксиомы I: P( )³0, то P(A)£1. Итак, для любого события A: 0£P(A)£1.

5°. Если AÌB, то B=A+ B, и слагаемые здесь несовместимы. По аксиоме III: P(B)=P(A)+P( B); по I аксиоме: P( B)³0; поэтому P(B)³P(A).

6°. Для любых двух событий A и B: P(AB)£P(A).

Действительно: A=AB+A  и по аксиомам III и I:

P(A)=P(AB)+P(A )³P(AB).

7°. Формула P(A+B)=P(A)+P(B) в случае, когда AB=Æ, верна по аксиоме III.

8°. Докажем теорему сложения для двух событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Очевидно,

причём в обоих равенствах справа слагаемые несовместимы. По III аксиоме:

Вычитая почленно нижнее равенство из верхнего, получим теорему сложения.

9°. Теорема сложения для n событий

P(A₁+A₂+¼+A_n)= (-1)^k+1 P(A_j1A_j2¼A_jk)

является прямым следствием теоремы сложения для двух событий.

10°. Формула для условной вероятности

P(A|B)=

является определением условной вероятности в предположении, что вероятность P(B) ненулевая: P(B)>0. Вероятность P(A|B) показывает, какая часть ве­роятности P(B) приходится на долю события A.

11°. Прямым следствием определения условной вероятности оказывается формула:

P(AB)=P(B)×P(A|B)=P(A)×P(B|A).

12°. Совершенно так же, как и в классической схеме, на основе последних формул строится понятие независимости событий: события A и B независимы в том и только в том случае, когда P(AB)=P(A)×P(B).

13°. Теорема умножения для n событий

P(A₁A₂¼A_n)=P(A₁)×P(A₂|A₁)×P(A₃|A₁A₂)×¼×P(A_n|A₁A₂¼A_n-1)

является прямым следствием теоремы умножения для двух событий.

14°, 15°. Выводы формулы полной вероятности и формул вероятностей гипотез воспроизводятся без изменений: для любого события B и любого разбиения пространства W (W=A₁+A₂+¼+A_n):

P(B)= P(A_k)×P(B|A_k),

P(A_k|B)= = , k=1, 2, ¼ , n.

В более полных, чем наш, курсах теории вероятностей приходится рассматривать также и суммы бесконечного числа событий и, соответственно, требовать, чтобы эта операция не выводила из поля событий: для бесконечной последовательности попарно несовместимых событий A₁, A₂, ¼ , A_n, ¼ требуют, чтобы A_nÎÅ. Такие поля событий называются борелевскими полями или сигма-алгебрами. Приходится для борелевского поля событий усиливать аксиому III, распространяя её и на бесконечные суммы попарно несовместимых событий:

P( A_n)= P(A_n).

Любопытно отметить, что в изложенном аксиоматическом построении те­ории вероятностей не нашлось места такому понятию, как событие "произо­шло" или "не произошло". Теория вероятностей оказывается частью теории меры, причём характерными свойствами вероятностной меры оказываются её неотрицательность: P(A)³0 и нормированность на единицу: P(W)=1. Про­сматривая выведенные свойства вероятностной функции P(×), можно заметить, что она ведёт себя подобно массе: единичная "масса вероятности" распределяется в пространстве W. Если нас интересует вероятность некоторого события A, то мы должны подсчитать, сколько этой массы досталось множеству A.