Двумерные случайные веЛИчины

Двумерной случайной величиной называется пара случайных величин, определённых на вероятностном пространстве (W, Å, P(×)). Результат наблюдения двумерной случайной величины (X, Y) можно изобразить точкой (x, y) на плоскости. Закон распределения вероятностей между возможными значениями двумерной случайной величины даётся совместной функцией распределения:

F(x, y)=P{X<x, Y<y}

показывающей, какая вероятностная масса лежит внутри заштрихованного квадранта (рис. 2).

Рис. 2.

Запятая в записи вероятности P{X<x, Y<y} заменяет знак умножения между событиями {X<x} и {Y<y}.

Выделим два простейших случая: непрерывный и дискретный.

Двумерная случайная величина (X, Y) называется непрерывной, если существует такая функция p(x, y), что

F(x, y)= p(x, y)dxdy.

Очевидно, p(x, y)= F(x, y).

Функция p(x, y) называется совместной плотностью вероятности; она играет роль поверхностной плотности распределения единичной вероятностной массы на двумерной плоскости. Вероятность того, что (X, Y) попадёт в область A на двумерной плоскости, вычисляется так:

P(A)= p(x, y)dxdy,

и эта вероятность определена для таких событий A, для которых определён интеграл справа.

В дискретном случае возможные значения (X, Y) можно представить как упорядоченные пары чисел (x_i, y_j) и закон распределения давать в виде таблицы: p_i_j=P{X=x_i, Y=y_j}.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X, Y), то можно найти также законы распределения компонент X и Y.

В общем случае:

F_X(x)=P{X<x}=P{X<x, Y<+¥}=F(x, +¥).

Аналогично: F_Y(y)=F(+¥, y).

В непрерывном случае:

p_X(x)= F_X(x)= F(x, +¥)= dx p(x, y)dy= p(x, y)dy.

Аналогично:

p_Y(y)= p(x, y)dx.

В дискретном случае:

p_i=P{X=x_i}=P{X=x_i, -¥<Y<+¥}= p_i_j.

Аналогично:

q_j=P{Y=y_j}= p_i_j.

Обратная задача – восстановить закон распределения двумерной случайной величины по законам распределения компонент – решается для независимых компонент.

Естественно называть случайные величины X и Y независимыми, если события {X<x} и {Y<y} независимы, т. е., если

F(x, y)=P{X<x, Y<y}=P{X<x}P{Y<y}=F_X(x)F_Y(y).

Если F(x, y) дифференцируема, то

p(x, y)= F(x, y)= F_X(x)F_Y(y)= F_X(x) F_Y(y)=p_X(x)p_Y(y).

В дискретном случае:

p_i_j=P{X=x_i, Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}=p_iq_j.

Совершенно аналогично вводятся n-мерные случайные величины.

Например, пусть независимые случайные величины X_i, i=1, 2, ¼ , n распределены по стандартному нормальному закону: X_i~N(0, 1), i=1, 2, ¼ , n. Их совместная плотность вероятности равна:

p(x₁, x₂, ¼ , x_n)= exp(- x_i²).

Выполним невырожденное линейное преобразование и введём новые случайные величины

Y_k= a_i_jX_i, k=1, 2, ¼ , n.

Это преобразование можно переписать в матричном виде: Y=AX, где X^T=
=(X₁, X₂, ¼ , X_n), Y^T=(Y₁, Y₂, ¼ , Y_n), A=||a_i_j||, DetA¹0. Так как преобразование невырождено, то оно обратимо, так что X=A^-¹Y. В евклидовом пространстве переменных y₁, y₂, ¼ , y_nсовместная плотность вероятности вектора Y равна

q(y₁, y₂, ¼ , y_n)= exp(- Y^TSY),

где S=A^TA – матрица квадратичной формы в показателе экспоненты, а |DetA|=J – якобиан преобразования.

Обратно, если совместная плотность вероятности n-мерного вектора равна

q(y₁, y₂, ¼ , y_n)=C×exp(- Y^TSY),

где S – положительно определённая матрица (что нужно для сходимости интеграла по всему пространству), а C – константа, то существует такая матрица A, что S=A^TA, С=|DetA|= и преобразование Y=AX, (X=A^-¹Y) приводит к независимым компонентам X_i~N(0, 1), i=1, 2, ¼ , n.

Можно сделать ещё одно обобщение, введя параметры масштаба и сдвига по всем осям.

n-мерной нормальной плотностью называется

p(x₁, x₂, ¼ , x_n)= exp(- a_i_k(x_i-b_i)(x_k-b_k)),

где a_i_k, b_i– параметры n-мерного нормального вектора, A=||a_i_j|| – положительно определённая матрица.

C2– распределение

Пусть X₁, X₂, ¼ , X_n– независимые (в совокупности) нормально распределённые случайные величины: X_i~N(0, 1), i=1, 2, ¼ , n.

Определим сумму их квадратов:

c_n²= X_i²

и найдём закон распределения случайной величины c_n²:

F_cⁿ₂(x)= exp(- x_i²)dx₁dx₂¼dx_n, x>0.

Принимая во внимание, что подынтегральная функция принимает постоянное значение на любой n-мерной сфере (x₁²+x₂²+¼+x_n²=r²), проведём интегрирование по сферическим слоям. Обозначим через V_n(r) объём n-мерной сферы радиуса r, а через S_n(r) – площадь её поверхности.

Отметим, что:

S_n(r)= V_n(r), V_n(r)= S_n(r)dx.

В частности, в двумерном и трёхмерном случаях имеем:

V₂(r)=pr², S₂(r)=2pr, V₃(r)= pr³, S₃(r)=4pr².

Ясно, что можно считать

V_n(r)=C_nrⁿ, S_n(r)=nC_nrⁿ^-¹,

где C_n– константа, которую мы найдём ниже.

Продолжим теперь преобразование функции распределения c_n²:

F_cⁿ₂(x)= exp(- r²)nC_nrⁿ^-¹dr.

Мы превратили n-кратный интеграл в обычный однократный.

Из последнего равенства найдём плотность вероятности:

p_cⁿ₂(x)= F_cⁿ₂(x)= exp(- ) Û p_cⁿ₂(x)= , x>0.

Если x£0, то ясно, что p_cⁿ₂(x)º0.

Прежде, чем перейти к вычислению константы C_n, напомним определение и свойства гамма-функции, которыми нам ещё не раз придётся пользоваться.

––²––

Определение и свойства гамма-функции

Гамма-функция определена на положительной полуоси равенством:

G(x)= e^-^tt^x^-¹dt, x>0.

Свойства гамма-функции:

1°. G(x+1)=xG(x). Это свойство легко доказывается интегрированием по частям интеграла, определяющего G(x+1): G(x+1)= e^-^tt^xdt.

2°. G(1)=1.

3°. Для любого натурального n: G(n+1)=n! Доказательство этого факта сразу следует из двух первых свойств. Данное свойство показывает, что гамма-функция является естественным обобщением факториала.

4°. G( )= .

Для доказательства этого свойства достаточно сделать замену переменной в интеграле, определяющем G( ):

G( )= e^-^t dt

и положить t= y²:

G( )= dy.

Вспоминая рассмотренный нами выше интеграл Пуассона I= dx= , находим, что G( )= .

5°. Для полуцелого положительного n: G(n+ )= .

Это равенство доказывается по индукции с использованием свойств 1° и 4°.

6°. Формула Стирлинга:

при x®+¥: G(x+1)~ x^xe^-^x.

Мы приведём не вполне строгое, но достаточно простое доказательство этой формулы.

При любом фиксированном x (x>0):

G(x+1)= e^-^tt^xdt= e^x^lnt^-^tdt= e^y⁽^t⁾dt,

где y(t)=xlnt-t.

Легко убедиться, что функция y(t) имеет максимум при t=x. Разложим y(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t=x, ограничиваясь первыми тремя слагаемыми:

y(t)»xlnx-x- =xlnx-x- ( )².

Поэтому

G(x+1)»e^x^lnx^-^x dt=x^xe^-^x dt.

Введём новую переменную: y= . Имеем:

G(x+1)»x^xe^-^x dy.

В последнем интеграле при больших x (x®+¥) нижний предел интегрирования можно заменить на -¥: dy» dy=I – интеграл Пуассона и, как мы знаем, он равен . Поэтому при больших положительных x: