Общая характеристика содержания математических представлений у детей дошкольного возраста

Малыши постигают то содержание математической направ­ленности, которое в современной методике развития математи­ческих представлений детей дошкольного возраста именуется предматематикой. Это содержание обеспечивает развитие мыш­ления, освоение логико-математических представлений и спосо­бов познания.

Содержание предматематики направлено на развитие важней­ших составляющих личности ребенка — его интеллекта и интеллектуально-творческих способностей.

Результатами освоения предматематики являются не только знания, представления и элементарные понятия, но и общее раз­витие познавательных процессов. Способности к абстрагирова­нию, анализу, сравнению, обобщению, сериации и классифика­ции, умение сравнивать предметы и явления, выяснять законо­мерности, обобщать, конкретизировать и упорядочивать являются важнейшей составляющей логико-математического опыта ребенка, который дает ему возможность самостоятельно познавать мир.

Освоенные математические представления, логико-матема­тические средства и способы познания (эталоны, модели, речь, сравнение и др.) составляют первоначальный логико-математи­ческий опыт ребенка. Этот опыт является началом познания ок­ружающей действительности, первым вхождением в мир матема­тики.

Целью и результатом педагогического содействия математи­ческому развитию детей дошкольного возраста является разви­тие интеллектуально-творческих способностей детей через ос­воение ими логико-математических представлений и способов познания.

Задачи математического развития в дошкольном детстве оп­ределены с учетом закономерностей развития познавательных процессов и способностей детей дошкольного возраста, особен­ностей становления познавательной деятельности и развития личности ребенка в дошкольном детстве. Выполнение этих задач должно обеспечивать реализацию принципа преемственности в развитии и воспитании ребенка на дошкольной и начальной школьной ступенях образования.

Основными задачами математического развития детей до­школьного возраста являются:

• развитие у детей логико-математических представлений (представлений о математических свойствах и отношениях предметов, конкретных величинах, числах, геометрических фигурах, зависимостях и закономерностях);

• развитие сенсорных (предметно-действенных) способов по­знания математических свойств и отношений: обследование, сопоставление, группировка, упорядочение, разбиение;

• освоение детьми экспериментально-исследовательских спо­собов познания математического содержания (воссоздание, экспериментирование, моделирование, трансформация);

• развитие у детей логических способов познания математиче­ских свойств и отношений (анализ, абстрагирование, отрица­ние, сравнение, обобщение, классификация, сериация)';

• овладение детьми математическими способами познания дей­ствительности: счет, измерение, простейшие вычисления;

• развитие интеллектуально-творческих проявлений детей: на­ходчивости, смекалки, догадки, сообразительности, стремле­ния к поиску нестандартных решений задач;

• развитие точной, аргументированной и доказательной речи, обогащение словаря ребенка;

• развитие активности и инициативности детей;

• воспитание готовности к обучению в школе: развитие само­стоятельности, ответственности, настойчивости в преодолении трудностей, координации движений глаз и мелкой моторики рук, умений самоконтроля и самооценки.

Содержание математического развития детей дошкольного возраста определяется, наряду с целями и задачами, следующими важными факторами.

• Личностно-развивающая направленность содержания мате­матического развития дошкольников должна являться эффек­тивным средством развития интеллектуально-творческих спо­собностей ребенка и содействовать развитию важнейшего личностного качества — самостоятельности в решении интел­лектуальных задач.

• Направленность математического содержания, которое ос­ваивает ребенок в дошкольном возрасте, является социализи­рующей. Накопленный логико-математический опыт ребенка обязательно станет его значимым личностным приобретени­ем, если обеспечит ситуацию успеха в разных видах деятель­ности, требующих проявления интеллектуально-творческих способностей.

• Содержание математического развития дошкольников пропе-девтично. Осваиваемое ребенком содержание должно позво­лить ему на чувственном, а затем и логическом уровне познать некоторые стороны действительности и развить те структуры мышления, на основе которых впоследствии будут формиро­ваться основные математические понятия.

• Осваиваемое содержание должно соответствовать возрастным и индивидуальным возможностям дошкольников, быть ори­ентированным на зону их ближайшего развития.

В качестве основных структурных компонентов содержания математического развития дошкольников выступают логико-ма­тематические представления и способы познания, которые пред­ставлены в таблице 3 в порядке усложнения.

Реализация обозначенных задач возможна на адекватном им содержании. Первым и важнейшим компонентом содержания математического развития дошкольников являются свойства и отношения. Значимость и необходимость выделения этого ком­понента обусловлена прежде всего тем, что:

• математические понятия отражают определенные свойства действительности (число — количество, геометрическая фигу­ра — форму, протяженность в пространстве — длину и т.д.); движение к постижению математических понятий начинается с познания соответствующих свойств и отношений;

• умственные действия со свойствами и отношениями — до­ступное и эффективное средство логико-математического развития детей и их интеллектуально-творческих способно­стей.

В процессе разнообразных действий с предметами дети осваивают такие свойства, как форма, размер (протяженность в пространстве), количество, пространственное расположение, длительность и последовательность, масса. Первоначально в ре­зультате зрительного, осязательно-двигательного, тактильного обследования, сопоставления предметов дети обнаруживают и выделяют в предметах разные их свойства. Дети сравнивают от­дельные предметы и группы предметов по разным свойствам, упорядочивают объекты по разным основаниям (например, по возрастанию или убыванию их размера, емкости, тяжести и т. д.), разбивают совокупности на группы (классы) по признакам и свойствам. В процессе этих действий дошкольники обнаружи­вают отношения сходства (эквивалентности) по одному, двум и более свойствам и отношениям порядка. При этом они учатся оперировать «в уме» не с самим объектом, а с его свойствами (абстрагируют отдельные свойства от самого предмета и от его других, незначимых для решения задачи свойств). Таким обра­зом формируется важнейшая предпосылка абстрактного мыш­ления — способность к абстрагированию.

В процессе осуществления практических действий дети по­знают разнообразные геометрические фигуры и постепенно пере­ходят к группировке их по количеству углов, сторон, вершин. У детей развиваются конструктивные способности и пространст­венное мышление. Они осваивают умение мысленно поворачи­вать объект, смотреть на него с разных сторон, расчленять, соби­рать и видоизменять его.

В познании величин дети переходят от непосредственных (на­ложение, приложение, сравнение «на глаз») к опосредованным способам их сравнения (с помощью предмета-посредника и изме­рения условной меркой). Это дает возможность упорядочивать предметы по их свойствам (размеру, высоте, длине, толщине, массе и другим). Ребенок убеждается в том, что одни и те же свой­ства в разных объектах могут иметь как одинаковую, так и разную степень выраженности (равные или разные по толщине и т. д.).

Пространственно-временные представления (наиболее слож­ные для ребенка-дошкольника) осваиваются через реально пред­ставленные отношения (далеко — близко, сегодня — завтра). По­знание этих отношений осуществляется в процессе анализа реаль­ной жизненной обстановки, разрешения проблемных ситуаций, решения специально разработанных творческих задач и модели­рования.

Познание чисел и освоение действий с числами — важнейший компонент содержания математического развития. Посредством числа выражаются количество и величины. Оперируя только чис­лами, которые являются показателями количеств и величин объ­ектов окружающей действительности, сравнивая их, увеличивая, уменьшая, можно делать выводы о точном состоянии объектов действительности.

Ребенок-дошкольник постигает сущность числа и действие с числами на протяжении длительного периода. Первоначально ма­лыши выделяют один или два предмета, сравнивают практиче­ским путем два множества. В этот же период или несколько позже дети овладевают счетом. Счет является способом определения численности множеств и способом их опосредованного сравнения. В процессе счета дети постигают число как показатель мощ­ности множества. Сосчитывая разные по размеру, пространствен­ному расположению предметы, дети приходят к пониманию неза­висимости числа от других свойств предметов и совокупности в целом. Знакомятся с цифрами, знаками для обозначения чисел.

Решая арифметические задачи, дети осваивают специальные приемы вычислительной деятельности, например присчитывание и отсчитывание по единице.

На основе сложившегося логико-математического опыта ре­бенку 5—6 лет становятся доступными познание связей, зависи­мостей объектов, закономерностей, оценка различных состояний и преобразований. Ребенок определяет порядок следования; на­ходит фигуру, пропущенную в ряду фигур; понимает и исправляет ошибки; поясняет неизменность или изменение состояния объек­тов, веществ; следует алгоритмам и составляет их самостоятельно.

2. Способы познания свойств и отношений в дошкольном возрасте

Основными способами познания таких свойств, как форма, размер и количество, которые ребенок осваивает уже в дошколь­ном возрасте, являются сравнение, сериация и классификация.

Познание формы, размера, количества в процессе сравнения

Сравнение — первый способ познания свойств и отношений, который осваивают дети дошкольного возраста и один из основ­ных логических приемов познания внешнего мира.

Познание любого предмета начинается с того, что мы его от­личаем от всех других и в то же время находим его сходство'с дру­гими объектами. В процессе установления различий выявляются свойства отдельных предметов или же их групп. Каждая группа свойств связана со специфическими познавательными действия­ми. Так, установление сходства и различий по цвету является ре­зультатом зрительного обследования объектов, по форме — зри­тельного и осязательно-двигательного обследований, по разме­ру — зрительного, тактильного, осязательно-двигательного обследований и измерения, по количеству — зрительного и так­тильного обследований счета.

В результате сравнения дети обнаруживают, что среди предме­тов, которые их окружают, есть разные, не похожие друг на друга, а есть одинаковые. Первоначально дети выделяют «сенсорные» различия, т. е. такие, которые делают предметы внешне не похо­жими друг на друга. Эта непохожесть может быть обусловлена цветом, формой, размером, пространственным расположением частей, вкусовыми, температурными, тактильными и другими свойствами. В процессе манипуляций с предметами дети откры­вают их свойства. Чем больше ребенок находит различий между объектами, тем больше свойств он обнаруживает и тем более диф­ференцированным становится его восприятие.

Постепенно ребенок открывает для себя, что не только от­дельные предметы могут быть похожими или не похожими по каким-либо признакам друг на друга, но и одна группа предметов может быть похожей на другую или отличаться от нее. Так, под­солнухи, яблоки, помидоры имеют круглую форму, а огурцы и кабачки — овальную. В результате развивается способность вы­делять свойство группы и сравнивать между собой группы пред­метов. Такая способность является необходимым условием для перехода к познанию существенных признаков предметов и яв­лений. Ребенок стремится найти такой признак, благодаря кото­рому один класс объектов отличается от другого (например, де­ревья — от кустов, автобусы — от троллейбусов, треугольники — от квадратов и т.д.).

Успешность познания количества и количественных отноше­ний групп предметов зависит от овладения приемами сравнения.

Сравнивать предметы можно «на глаз». Дети первоначально прибегают к этому самому простому, но не всегда результативно­му приему сравнения. Более эффективными являются приемы не­посредственного сравнения {наложение, приложение, соединение линиями) и опосредованного сравнения с помощью предмета-посред­ника. В основе этих приемов лежит установление взаимноодно­значного соответствия между элементами двух множеств. В ре­зультате практических или графических действий дети образуют пары из предметов разных групп. К более сложным и точным опосредованным приемам сравнения по количеству и размеру от­носятся счет и измерение условной меркой.

Одним из первых дети осваивают прием наложения. Этот прием позволяет обнаружить сходство и различие по количеству, размеру, форме, цвету и другим признакам. Для сравнения двух групп предметов по количеству каждый предмет одной группы дети поэлементно накладывают на предметы другой группы. Так, чтобы узнать, поровну ли конфет и печений, дети на каждое пече­нье накладывают по одной конфете. Для сравнения полосок по размеру (длине, ширине) одну полоску накладывают на другую, совмещая края полосок с одной стороны. Наложив одну геомет­рическую фигуру на другую (например, круг на квадрат), понима­ют, чем они отличаются друг от друга.

Приложение — более сложный прием сравнения. Сущность этого приема заключается в пространственном приближении срав­ниваемых предметов друг к другу (при этом изначально предметы пространственно разделены). В этом случае ребенку сложнее обна­ружить сходство или различие между группами предметов.

В ситуациях, когда сравниваемые предметы нельзя простран­ственно приблизить друг к другу, используются приемы соедине­ния их линиями или предметы-посредники. Соединение линиями применяется при сравнении групп предметов по количеству. На­пример, чтобы правильно ответить на вопрос: всем ли куклам сшили новые платья, нужно попарно соединить линиями рисунки кукол и платьев.

Сравнение с помощью предметов-посредников имеет место в случаях, когда вышеперечисленные приемы применить нельзя (сравниваемые предметы находятся на большом расстоянии и их нельзя перемещать). Для того чтобы узнать, одинаковые ли длины имеют стол воспитателя и детская кроватка в спальне, дети используют третий предмет — посредник (веревку, палку, ленту). Посредник должен быть длиннее обоих сравниваемых предметов или равным по длине большему предмету. Ребенок поочередно прикладывает предмет-посредник к сравниваемым протяженностям и фиксирует на нем карандашом или фломастером длину каждого предмета. Затем он сравнивает «перенесен­ные» на предмет — посредник длины и делает вывод о том, что длиннее (стол воспитателя или детская кровать). Аналогично с помощью предмета-посредника сравнивается емкость сосудов.

При сравнении совокупностей предметов по количеству в ка­честве посредника используется третья совокупность предметов. Для того чтобы узнать, чего на участке больше — деревьев или кустарников, дети возле каждого дерева кладут по игрушке. Затем собирают их и заново раскладывают по одной возле каждого кус­тарника. Лишние игрушки «говорят» о том, что деревьев больше; недостаток игрушек — о том, что кустарников больше. Если возле каждого кустарника лежит игрушка, лишних игрушек нет, значит, деревьев и кустарников поровну.

Самые сложные способы сравнения, которыми овладевают дети дошкольного возраста, — это счет и измерение. Они относят­ся к опосредованным способам сравнения. При их использовании выводы об отношениях между сравниваемыми объектами делают­ся на основе сравнения чисел, выражающих размер или количе­ство объектов. Например, чтобы узнать, чего больше — яблок или груш, дети посредством счета определяют число яблок (например, 8 штук) и число груш (7 штук). Сравнивая полученные в результа­те счета числа (8 и 7), они устанавливают, что яблок больше на одно. Аналогичным образом дети определяют отношения между предметами по конкретным величинам с помощью измерения. Вывод о том, какой объект длиннее, короче, выше, ниже, тяжелее, легче и т. д., дети делают, сравнивая числа, которые выражают ре­зультаты измерений.

Таким образом, используя разные приемы сравнения, до­школьники познают свойства (форму, количество, размер), а также отношения равенства, подобия и порядка.

3. Сериация как способ познания размера, количества, чисел.

Сериация (упорядочивание множества) осуществляется на ос­нове выявления некоторого признака предметов и их распреде­ления в соответствии с этим признаком. Сериационные ряды строятся в соответствии с правилами. Правило определяет, ко­торый элемент из двух (произвольно взятых) предшествует дру­гому элементу. Основными характеристиками упорядоченного ряда являются неизменность и равномерность направления на­растания (или убывания значения) признака, на основе которого строится ряд.

Например, если из двух объектов меньший всегда должен предшествовать большему, то множество упорядочивается в на­правлении от самого меньшего к самому большому элементу. Так, ленты раскладывают от самой короткой к самой длинной, чашки расставляют от самой низкой к самой высокой и т. д.

Сериация как способ познания свойств и отношений позво­ляет:

• выявить отношения порядка;

• установить последовательные взаимосвязи: каждый следующий объект больше предыдущего, каждый предыдущий — меньше следующего (или наоборот: каждый следующий объект меньше предыдущего, каждый предыдущий — больше следующего);

• установить взаимнообратные отношения: любой объект упо­рядоченного ряда больше предыдущего и меньше следующего (любой объект упорядоченного ряда меньше предыдущего и больше следующего);

• открыть закономерности следования и порядка.

Дети дошкольного возраста осваивают сериацию в процессе выстраивания по порядку конкретных предметов. Исходным ус­ловием для овладения сериацией является освоенность сравне­ния.

Для выполнения сериации необходимо:

• выявить основание сериации, т. е. выделить признак (кон­кретную величину), по которому необходимо упорядочить предметы (размер, длина, масса и пр.);

• определить направление ряда (по нарастанию или по убыва­нию величины);

• выбрать из всех имеющихся предметов (в соответствий с на­правлением ряда) начальный элемент (самый маленький или самый большой);

• для продолжения ряда каждый раз из оставшихся предметов выбирать самый маленький (большой).

Усложнение сериационных заданий обеспечивается путем:

• постепенного увеличения числа объектов, которые необходи­мо упорядочить;

• уменьшения величинных различий между соседними элемен­тами ряда;

• увеличением числа различительных признаков в предметах се­риации (что способствует развитию умения абстрагировать свойства не только от самих предметов, но и от других свойств).

В практике используются различные сериационные дидакти­ческие материалы: рамки-вкладыши, игрушки-вкладыши (мат­решки, кубы, бочонки и др.), сериационные наборы М. Монтес­сори для упорядочивания предметов по разным признакам (цвету, запаху, размеру, различным протяженностям и др.).

Палочки Кюизенера (цветные числа) и цветные полоски, по­строенные по такому же принципу, различаются не только дли­ной, но и цветом. При этом все палочки одинаковой длины имеют одинаковый цвет. Количество палочек в наборе таково, что позво­ляет строить два разнонаправленных ряда: один — по нарастанию длины, другой — по убыванию. Чтобы построить ряд, ребенку всегда необходимо абстрагировать длину от более сильного в плане непосредственного восприятия свойства — цвета палочки.

Дети осваивают сериацию через систему следующих игровых упражнений:

• построение сериационного ряда по образцу;

• продолжение начатого ряда;

• построение сериационных рядов по правилу с заданными крайними элементами;

• построение рядов по правилу от начальной точки;

• построение по правилу с самостоятельным определением на­чальной точки ряда;

• построение ряда от любого элемента;

• поиск пропущенных элементов ряда.

Первые упражнения (первый шаг в освоении сериации) долж­ны помочь детям выделить основание сериации, т. е. тот признак, по которому можно упорядочивать, и осознать неизменность на­правления нарастания (или убывания) значения признака предме­тов. Материал для этих упражнений может быть самым разнооб­разным, но при подборе предметов должны соблюдаться следу­ющие условия:

• предметы сначала различаются только упорядочиваемыми свойствами (высотой, длиной, яркостью цвета, размером и т. д.), затем — дополнительными свойствами (разные по вы­соте и цвету, по цвету и форме);

• количество предметов равно трем.

Первые сериационные задания дети выполняют по образцу, ко­торым является готовый сериационный ряд. Образец демонстриру­ет, значение какого признака и в каком направлении меняется. Ре­бенку необходимо выделить этот признак, направление его измене­ния и соответственно построить такой же ряд из других предметов. В рамках-вкладышах образцом сериационного ряда являются от­верстия для вкладывания предметов (квадратов разного размера, цилиндров разного диаметра, силуэтов елок разной высоты и др.).

Предметы, которые упорядочивает сам ребенок, должны обя­зательно отличаться от предметов в образце. К примеру, если об­разец — ряд матрешек разного размера, то ребенок упорядочивает новые платья для них; если образец — ряд чашек, то ребенок упо­рядочивает блюдца и т. д. Такой подбор предметов способствует абстрагированию признака (основания сериации) от самих пред­метов.

Сначала дети строят сериационные ряды по нарастанию при­знака. В первую очередь используются дидактические наборы без дополнительных различительных признаков (рамки-вкладыши, игрушки-вкладыши, предметы быта, игрушки, фигуры), затем — с дополнительными признаками различия (палочки Кюизенера, цветные полоски и др.). По ходу совместных игровых упражнений взрослый побуждает детей рассказывать о порядке действий. Какую полоску нужно положить сначала, чтобы получилась ле­сенка (ответ — самую короткую)? Какая полоска будет следующей (ответ — немного длиннее)? Какая полоска будет последней (от­вет — самая длинная)?

В следующих упражнениях (второй шаг в освоении сериации) число упорядочиваемых предметов увеличивается до пяти.

Дети строят ряды как по нарастанию величины, так и по ее убы­ванию. Используются разнообразные упражнения на построение рядов: по образцу, с заданными крайними элементами, от заданной начальной точки (первый предмет ряда находится перед детьми), продолжение начатого ряда. Взрослый помогает детям усвоить пра­вило выбора предмета для построения ряда: каждый раз из остав­шихся предметов нужно выбирать самый маленький (короткий, низкий, тонкий и т. п.) или самый большой (длинный, высокий, толстый и т. п.).

В упражнениях на построение рядов с заданными крайними точ­ками обозначается только начало и конец ряда. Например: лесенка, в которой только две дощечки: первая, самая длинная, и последняя, самая короткая; первый, самый высокий, и последний, самый низ­кий, ребенок в ряду; самая маленькая и самая большая планета и др. Дети определяют направление ряда и достраивают его.

Затем дети строят ряды по правилу от заданной начальной точки, которая может находиться и в середине ряда. В таких уп­ражнениях ребенку сложнее выделить направление ряда. Выпол­нение подобных упражнений позволяет детям успешно перейти к самостоятельному построению всего ряда, т. е. самостоятельно определить направление ряда, правильно найти первый предмет ряда и построить его до конца.

Дети исправляют ошибки как в готовых реальных рядах, так и в нарисованных картинках. В таких рядах отдельные предметы находятся не на своем месте. Задача ребенка — обнаружить ошиб­ку и исправить ряд. В результате подобных упражнений дети прочнее осваивают свойства ряда: неизменность направления и равномерность нарастания (убывания) ряда.

Дети анализируют как готовые, так и самостоятельно постро­енные ряды. Например, в построенных рядах дети находят все предметы, которые меньше указанного предмета, и все, которые больше его. Такие задания помогают дошкольникам подготовить­ся к построению рядов от любых их элементов.

В дальнейшем дети упорядочивают до 10 и более предметов в ряду (третий шаг в освоении сериации). Строят сериационные ряды из палочек Кюизенера и цветных полосок как по нараста­нию, так и по убыванию значений одного и более признаков. Каж­дый построенный ряд анализируют с целью выявления относи­тельности величины. Для этого взрослый предлагает ребенку вы­брать любой предмет ряда и сравнить его с предметами, расположенными слева и справа.

На этом этапе дети упорядочивают предметы от любого эле­мента ряда, что является очень сложной задачей. Для ее решения требуется:

• выделить сразу два направления построения ряда (одну часть ряда нужно строить по нарастанию признака, другую — по его убыванию);

• разделить все предметы на две группы (те, которые больше, чем образец, и те, которые меньше образца);

• построить одну часть ряда (по нарастанию или же по убыва­нию значения признака), затем — другую (в обратном направ­лении изменения значения признака).

В процессе таких упражнений развивается способность «дви­гаться по ряду» в двух направлениях. В результате ребенок лучше осознает относительность признака и выделяет транзитивность как свойство отношения порядка (если розовая палочка длиннее белой, а синяя длиннее розовой, то синяя длиннее белой).

Усложняются упражнения на исправление неправильных рядов реальных предметов или их изображений на картинках. Теперь в неправильных рядах единичные элементы пропущены в разных местах ряда или отсутствуют 2—3 элемента, непосредственно сле­дующие друг за другом. Дети исправляют ошибки в рядах: находят пропущенные элементы.

С помощью полочек Кюизенера дети начинают упорядочи­вать числа. Величина каждого числа наглядно представлена дли­ной палочки (самая короткая (1 см) — число 1, длиннее (2 см) — число 2, еще длиннее (3 см) — число 3 и т. д.). Цвет также вы­полняет функцию обозначения конкретного числа (белый — число 1, розовый — число 2, голубой — число 3, красный — число 4 и т. д.).

Дети исследуют упорядоченные ряды цветных палочек и уста­навливают, что:

• каждая следующая палочка длиннее предшествующей на одну белую палочку;

• каждая предшествующая палочка короче следующей за ней на одну белую палочку.

В результате таких действий формируется представление о том, что каждое следующее число в натуральном ряду чисел на 1 больше предшествующего и, наоборот, каждое предшествующее число на 1 меньше непосредственно следующего за ним числа.

Исправления деформированных рядов палочек Кюизенера (с перестановкой рядом стоящих палочек, с пропущенными па­лочками) развивают у детей представление о числе.

В результате последовательных разнообразных упражнений дошкольники осваивают сериацию как способ познания свойств (размера, количества, чисел). С помощью этого способа они от­крывают отношение порядка, познают свойства упорядоченного множества, упорядочивают объекты по разным величинам, гото­вятся к решению сложных задач, в основе которых лежит отноше­ние порядка.

4. Классификация как способ познания свойств и отношений

Классификация — один из важнейших способов познания ок­ружающей действительности. В ее основе лежит разбиение. Раз­биение является логическим действием, суть которого состоит в разбивке непустого множества на непересекающиеся и полностью покрывающие его подмножества. Образованные подмножества именуются классами. При этом в каждый класс входит хотя бы один элемент множества и ни один из элементов множества не может входить сразу в два или более классов. Классификация — распределение элементов множества по классам. В процессе клас­сификации выявляются и устанавливаются отношения эквива­лентности по определенным свойствам. Классификация позволя­ет познать общие характеристические свойства классов и отноше­ния между классами.

Познание свойств групп и отношений между группами в процессе классификации предметов по признакам

Классификация по признакам — сложное умственное дейст­вие, которое включает:

• выделение оснований классификации (общих признаков предметов), по которым будет производиться разбиение;

• распределение объектов с разными свойствами в разные классы;

• объединение объектов с одинаковыми (тождественными) свойствами в одно целое (класс).

Первым шагом в освоении детьми классификации является об­разование групп предметов, т. е. выделение из совокупности пред­метов тех, которые обладают одинаковыми свойствами, и объеди­нение их в группу. Например, из множества геометрических фигур дети выбирают все круглые фигуры (и образуют из них группу), из множества игрушек — все маленькие игрушки и т. д. В процессе разнообразных упражнений по образованию групп предметов на основе разных свойств и называния общего свойства группы у детей развивается способность к обобщению. Сначала дети осваи­вают умение образовывать группы на основе одного свойства (все желтые фигурки), затем на основе двух, трех и более свойств (все красные квадратные фигуры, все большие треугольные синие фи­гуры и т. д.). Чем больше отличительных свойств имеют объекты, тем больше активизируется способность ребенка к абстрагирова­нию, т. е. к отличению значимых для решения задачи свойств от остальных. Чтобы выделить из логических блоков группу по одно­му свойству, ребенок должен отличить это свойство от остальных трех. Так, чтобы образовать группу всех квадратных блоков, ему нужно абстрагировать форму от цвета, размера и толщины блока и собрать вместе все квадраты (синие, желтые, красные, большие и маленькие, толстые и тонкие). В результате упражнений на об­разование групп дети осваивают умение объединять вместе объек­ты с одинаковыми свойствами и выделять общее свойство группы.

Вторым шагом в освоении детьми классификации является распределение предметов с разными свойствами в разные группы. В игровых упражнениях и игровых обучающих ситуациях взрос­лый задает основание и указывает общие свойства каждой группы. Например, перед детьми — три ведерка (красное, желтое, синее). Нужно разложить все игрушки по цвету: в красное ведерко со­брать все красные игрушки, в желтое — все желтые, в синее — все синие. В другом игровом упражнении детям предлагают 3 боль­шие фигуры, серединку цветка (круг, квадрат, треугольник) и много таких же маленьких фигур — лепестков. Нужно собрать цветы — вокруг каждой большой фигуры (серединки цветка) вы­ложить такие же по форме маленькие фигуры. В приведенных уп­ражнениях общие свойства каждой группы обозначаются с помо­щью цвета ведер и форм больших фигур. Общее свойство каждой группы взрослый может обозначить по-разному, например сло­вом или знаком. При выполнении этих упражнений важно, чтобы дети называли не только общие свойства групп (все круглые, все квадратные, все треугольные), но и основания распределения предметов по группам (разложили по форме, по размеру и т. д.), а также число полученных групп (разделили фигуры по форме и по­лучили 3 группы: круглые, квадратные и треугольные фигуры).

В ходе таких упражнений дети усваивают, что любые два объ­екта одной группы одинаковы по общему свойству, а любые два предмета из разных групп — различны.

Следующим (третьим) шагом в освоении классификации яв­ляются упражнения, которые помогают детям самостоятельно об­наруживать общие свойства классов. Задание, которое получают дети, состоит в том, чтобы разделить (разложить) все предметы по указанному признаку (цвету, длине, толщине и т. д.), определить количество полученных групп, назвать общее свойство каждой группы.

При выполнении таких упражнений полезными окажутся логические блоки Дьенеша — наборы предметов разных цветов и форм. Например, в игровом упражнении «Засели домик» ребенок получает карточку-домик. На ней нужно «расселить» блоки так, чтобы в каждой «комнате» все блоки были одинаковыми по цвету; затем назвать, какие блоки поселились в каждой «комнате» и сколько занято комнат. Эти же блоки в других упражнениях можно разбивать по другим основаниям (по форме, по размеру, по толщине). При каждом новом основании разбиения меняются общие (характеристические) свойства классов.

Четвертый шаг в освоении детьми классификации — упраж­нения, которые помогают ребенку самостоятельно найти осно­вание классификации. Задача, стоящая перед ребенком, заклю­чается в том, чтобы разделить любую совокупность так, чтобы вместе оказались все одинаковые предметы. Например, взрос­лый предлагает детям несколько домиков для «расселения» бло­ков.

Каждый ребенок должен сначала решить, как он «расселит» блоки, а затем выбрать тот домик, который для этого подходит. Условия «расселения»: все блоки должны попасть в дом; в каждой комнате должны «жить» только одинаковые блоки; в доме не должно быть пус­тых комнат.

Таким образом, в процессе освоения классификации ребенок движется от умения объединять вместе предметы с одинаковыми свойствами и выделять общие свойства группы к умениям рас­пределять предметы с разными свойствами в разные группы; раз­бивать совокупность на группы по заданному основанию класси­фикации; выделять основание классификации.

Упражнения на классификацию дети могут выполнять на разном предметном материале (игрушки, предметы быта, при­родный материал, геометрические фигуры и пр.). Но не всегда, к сожалению, такой материал может включать в действие аб­страгирование одних свойств от других. В то же время любая задача на классификацию с логическими блоками требует от ре­бенка умения «абстрагировать» одни свойства от других. Если основанием классификации является форма, то нужно ее от­влечь от цвета, размера, толщины блоков; если же размер осно­ванием является, не нужно обращать внимание на форму, цвет, толщину блоков. Логические блоки и материалы, сконструиро­ванные по их типу, являются незаменимыми в освоении детьми классификации — важнейшего способа познания свойств и от­ношений.

Степень сложности задач на классификацию, а следовательно, их развивающий потенциал зависит:

• от количества признаков, по которым осуществляется группи­ровка (один, два, три); чем больше признаков, тем сложнее задача;

• от числа различительных свойств в каждом предмете той со­вокупности, которая разбивается на группы; чем больше различительных свойств в предметах, тем труднее абстрагиро­вать одни свойства от других.

В результате классификации по общим признакам предметов дети познают общие свойства классов, отношения между частью и целым, отношения включения между классами.

Классификация по совместимым свойствам как способ развития предпосылок логико-математического мышления детей старшего дошкольного возраста

Классификация по совместимым свойствам является доступ­ным способом развития у старших дошкольников способности к логико-математическому мышлению. В основе такой классифи­кации лежит разбиение множеств по совместимым свойствам, т. е. таким свойствам, которые одновременно присутствуют в объекте. Доступным для старших дошкольников данный вид классифика­ции делает специально сконструированный для этих целей дидак­тический материал (который мы уже упоминали ранее) — логи­ческие блоки. Набор логических блоков обеспечивает выполне­ние классификации по совместимым свойствам в плане внешних предметных действий группировки, т. е. распределения предметов по группам. Процесс и результаты группировки логических бло­ков отражают характер протекания умственного действия класси­фикации.

Выполнение классификации по совместимым свойствам всег­да требует устойчивого абстрагирования заданных свойств, анали­за и объединения объектов в группы на основе наличия (или от­сутствия) этих свойств в каждом из объектов классификации. Анализ свойств осуществляется с помощью логических операций «не» (отрицание), «и» (конъюнкция), «или» (дизъюнкция). Так, чтобы классифицировать логические блоки на основе свойств быть круглым и быть желтым, необходимо:

• провести анализ каждого блока (круглый или не круглый, жел­тый или не желтый);

• обнаружить все возможные варианты сочетания этих свойств (круглые и желтые, круглые и не желтые, желтые и не круглые, не желтые и не круглые) объединить (сгруппировать) вместе все круглые и желтые блоки, все круглые и не желтые блоки, все желтые и не круг­лые блоки, все не желтые и не круглые. Эффективным средством развития у детей способности клас­сифицировать объекты по совместимым свойствам являются игры с блоками и обручами, разработанные профессором А. А. Столя­ром. В современной практике логико-математического развития дошкольников успешно применяются «жизненные» логические материалы, сконструированные по принципу логических блоков (наборы бабочек, листьев, цифр и др.), и разнообразные варианты методически реконструированных игр с обручами.

Освоение классификации по совместимым свойствам осу­ществляется поэтапно. На первом этапе дети разбивают множест­во на классы на основе одного свойства. Для выполнения этого действия ребенку необходимо вычленить обозначенное свойство в предметах классификации; абстрагировать его от других свойств; установить, присутствует ли указанное свойство в каж­дом предмете; объединить в одну группу все предметы, облада­ющие указанным свойством, в другую — все предметы, не имею­щие данного свойства. Важнейший результат освоения детьми классификации по одному свойству — развитие представлений о логической операции отрицания.

Освоение детьми классификации по одному свойству проис­ходит в игровых упражнениях с одним обручем. Для этого на полу размещается обруч.

Предварительно определяются область, которая находится внутри обруча, и место, которое не попадает в обруч (за обручем, вне обруча). Дети получают, например, такое задание: разложить все блоки на полу так, чтобы в обруче оказались все красные блоки.

Выполнение такого предметного действия для детей старшего дошкольного возраста не составляет труда. Дети с легкостью называют, какие блоки оказались в обруче (все красные). Однако сложнее всего обозначить общее свойство тех блоков, которые оказались за обручем, так как именно здесь требуется включение логической операции отрицания. Общее свойство всех блоков, оказавшихся вне обруча (все не красные), не имеет сен­сорного образца (эталона). Более того, в эту группу могли бы по­пасть блоки любого другого цвета, кроме красного. Встав перед необходимостью назвать все блоки за обручем одним словом, дети находят для этого разные, но не точные слова (другие, разные, всякие). Решение задачи оказывается невозможным на уровне оперирования образами предметов или сенсорными эталонами свойств. Самостоятельный, достаточно длительный и сложный поиск правильного слова для характеристики группы блоков, ока­завшихся за обручем, связан с переходом ребенка на логический уровень мышления. Взрослый помогает сделать этот шаг с помо­щью вопросов «Какие блоки попали в обруч?», «Есть ли среди блоков за обручем хотя бы один красный?», «Чем они все отлича­ются от тех, что находятся в обруче?»

Показателем перехода на логический уровень мышления яв­ляется включенная в действие логическая операция отрицания. Ребенок самостоятельно с ее помощью указывает общее свойство блоков за обручем (не красные, не крупные, не синие и т.д.). В каждом новом игровом упражнении обязательно меняется свойство — основание классификации (квадратные, желтые, тре­угольные, круглые, синие и т.д.).

Обруч и блоки в игровых упражнениях могут образно «опред­мечиваться». Так, обруч может быть планетой, блоки — обитате­лями вселенной; обруч — морем, блоки — рыбами; обруч — блю­дом, блоки — конфетами; обруч — машиной, блоки — строитель­ным материалом. В соответствии с игровым действием обруч можно заменить другим предметом (машинкой, игрушкой, плат­ком и пр.). Образное «опредмечивание» материала уместно при слабо выраженной познавательной мотивации детей и способст­вует активизации мыслительной деятельности.

Технология организации игровых упражнений на освоение классификации по одному свойству включает следующие шаги:

1) предъявление задачи (разложить все блоки так, чтобы...);

2) характеристика каждого образованного класса.

На втором этапе дети осваивают классификацию по двум со­вместимым свойствам. Варианты совместимых свойств (основа­ний классификации) могут быть самыми разными: красные квад­ратные, синие круглые, прямоугольные красные, желтые боль­шие, треугольные толстые и др. Одно из эффективных средств ос­воения детьми классификации по совместимым свойствам — игры с двумя обручами и блоками.

На полу — два разноцветных обруча, например синий (слева) и красный (справа).

Вначале дети должны познакомиться с месторасположением и названием всех областей, которые образуются в результате тако­го расположения обручей (место внутри обоих обручей, место внутри синего, но вне красного обруча; место внутри красного, но вне синего обруча; место вне обоих обручей). Затем получают за­дание, например разложить все блоки так, чтобы в синий обруч попали все синие блоки, в красный — все круглые.

Для решения этой сложной задачи (выполнение классифика­ции по двум свойствам) ребенку необходимо:

• абстрагировать два свойства (быть синим, быть круглым);

• объединить вместе все синие и круглые блоки, все синие и не круглые, все круглые и не синие, все не синие и не круглые. Процесс выполнения практических действий детьми наглядно демонстрирует включенность логических операций в решение за­дачи. Логические операции бездействуют, если дети сначала выби­рают все синие блоки и помещают их в синий обруч, затем из остав­шихся выбирают все круглые и помещают в красный обруч. При этом место внутри обоих обручей остается пустым. Если задейство­ван логический анализ, ребенок поочередно берет блоки, смотрит на них и определяет, каковы они с точки зрения заданных свойств.

Первоначально некоторые дети решают задачи на классифи­кацию по совместимым свойствам на дологическом уровне. Ос­новной путь помощи этим детям — предоставление им возмож­ности самим увидеть свои ошибки и самим их исправить. Процесс самостоятельного поиска направляется взрослым. После того как дети разложили все блоки в обручи, а место внутри обоих обручей осталось пустым, взрослый предлагает проверить:

• все ли синие блоки попали в синий обруч (и исправить ошибки);

• все ли круглые блоки попали в красный обруч (и исправить ошибки).

Дети быстро находят «ошибочные» блоки и перекладывают их в другую группу. При этом место внутри обручей остается пус­тым. В результате многократного перекладывания дети обнару­живают, что таким образом нельзя исправить ситуацию, и нахо­дят самое подходящее место для «ошибочных» блоков — внутри обоих обручей.

Подтверждением действенности логических операций у детей является умение выделить и назвать общее (характеристическое) свойство образованных классов. С этой целью взрослый предла­гает детям назвать каждую группу блоков так, чтобы их нельзя было спутать с другими:

• внутри обоих обручей: все синие и круглые блоки;

• внутри синего, но вне красного: все синие и не красные блоки;

• внутри красного и вне синего: все круглые и не синие блоки;

• за обручами (вне обручей): все не круглые и не синие блоки. Включению в действие логических операций «не», «и», «или» в упражнениях с обручами способствуют также вопросы:

• каким должен быть блок, чтобы попасть сразу в оба обруча? (Синим и круглым.);

• какими должны быть блоки, чтобы попасть хотя бы в один из обручей? (Синими или круглыми.)

Технология организации игровых упражнений с обручами на освоение классификации по двум совместимым свойствам вклю­чает следующие шаги:

Подготовительный: выделение и называние всех областей, ко­торые образуются при пересечении двух обручей Основные:

1) предъявление задачи (разложить все блоки так, чтобы...);

2) проверка решения задачи;

3) характеристика каждого образованного класса (формулировка их характеристических свойств).

Как и на предыдущем этапе, здесь возможно образное «опред­мечивание» обручей и блоков, использование вместо обручей дру­гих предметов. Благодаря этому создаются разнообразные игро­вые ситуации, для разрешения которых дети должны выполнить классификацию по совместимым свойствам. Например, разде­лить конфеты между Винни-Пухом и Пятачком так, чтобы Пуху достались все желтые конфеты, а Пятачку — все прямоугольные конфеты; разделить строительный материал для постройки дома между Ниф-Нифом и Наф-Нафом так, чтобы у Ниф-Нифа были все квадратные блоки, а у Наф-Нафа — все толстые. В каждом новом игровом упражнении задается новая пара совместимых свойств. В процессе классификации дети продолжают познавать отношения между классами.

Таким образом, в дошкольном возрасте дети осваивают важнейшие способы познания формы, размера и количества: сравнение, сериацию, классификацию. Сравнение — самый первый способ познания свойств и отно­шений, которым овладевают дети, и один из основных логи­ческих приемов познания мира. Он позволяет ребенку обна­ружить сходство или различие как между отдельными предме­тами, так и между группами предметов по форме, размеру, количеству, пространственному расположению.

В дошкольном возрасте дети осваивают с помощью взрослого сначала непосредственные (наложение, приложение, соеди­нение линиями), а затем и опосредованные (с помощью пред­мета-посредника, счета, измерения) приемы сравнения пред­метов по размеру и групп предметов — по количеству.

Успешное овладение сравнением является базой для освоения нового способа познания свойств и отношений — сериации. В процессе сериации дошкольники открывают для себя отношения порядка, познают свойства упорядоченного мно­жества (неизменность и равномерность нарастания или убы­вания величины). Овладение сериацией — основа понимания отрезка натурального ряда чисел как упорядоченного мно­жества.

Выполняя разные виды классификации (по признакам и по совместимым свойствам), дошкольники не только познают свойства и отношения, но и развивают свои аналитические способности, овладевают умением применять простые логи­ческие операции.

Способность к абстрагированию — важнейшая особенность ло­гико-математического мышления. Она успешно развивается в дошкольном возрасте в процессе сравнения, упорядочивания, классификации. Однако для ее развития требуется тщательный отбор дидактических материалов: логические блоки Дьенеша, цветные палочки Кюизенера и другие аналогичные материалы.