ЛЕКЦІЯ 23 ЧАСТОТНІ критерії стійкості

Розглянемо поліном, який отримується з характеристичного полінома при підстановці в нього :

(23.1)

Цей поліном є характеристичним поліномом в -зображеннях. Встановимо, якими повинні бути нулі (тобто корені характеристичного рівняння у -зображеннях), щоб система була стійка.

Представимо змінну у вигляді . Підставивши цей вираз в і прологарифмувавши, отримаємо

(23.2)

Оскільки при то умова стійкості дискретних систем приймає вигляд

(23.3)

Таким чином, для того, щоб дискретна система була стійка, необхідно і достатньо, щоб всі корені її характеристичного рівняння в -зображеннях розташувалися в лівій -напівплощині.

Через рівність якщо є коренем характеристичного рівняння , то число

буде коренем характеристичного рівняння в -зображеннях при любих Інакше кажучи, характеристичне рівняння в -зображеннях має нескінченну безліч рішень.

Корені у яких уявна частина називатимемо основними коренями характеристичного рівняння в -зображеннях. Число основних коренів дорівнює ступеню характеристичного рівняння. Оскільки неосновні корені відрізняється від відповідних основних тільки уявною частиною, для дослідження стійкості досить розглянути тільки основні корені.

Принцип аргумента

Якщо основних нулів характеристичного полінома

,

розташовані в лівій напівплощині, а останні основних нулів – в правій напівплощині, той приріст при зміні від до

(23.4)

а при зміні від 0 до дорівнює :

(23.5)

Доказ. Хай – нулі характеристичного полінома , а – нулі характеристичного полінома . Тоді ці поліноми можна представити у вигляді добутку

	(23.6)
	(23.7)

При поклавши в (23.2) отримаємо і відповідно можемо представити у вигляді

Цей вектор при зміні від до робить на -площини повний оборот в додатному напрямку (проти руху годинникової стрілки), і його кінець описує коло одиничного радіусу. При цьому вектор робить повний оборот щодо кінця вектора у додатному напрямку, і зміна його аргументу дорівнює (рис. 23.1, а), якщо і зміна аргументу цього вектора дорівнює нулю, якщо (рис. 23.1, б).

Рис. 23.1. До доказу принципу аргументу: (а) і (б)

Тому

якщо нулів полінома знаходяться усередині одиничного круга, а останні – поза одиничним кругом.

І так як при і при зміна аргументу (див. (23.7)) визначається наступним чином:

якщо основних нулів характеристичного полінома розташовані в лівій, а останні основних нулів – в правій -напівплощині.

Тепер покажемо справедливість формули (23.5). Оскільки функція є комплексно-зв'язаною функцією . Аргументи комплексно-зв'язаних функцій відрізняються тільки знаками:

Звідси

і з (23.4) отримуємо (23.5).

Критерій Найквіста

Для дослідження стійкості дискретних систем можна використовувати також критерій Найквіста (точніше, його аналог). Як і у разі безперервних систем, він використовується для визначення стійкості замкнутої системи по амплитудно-фазовій частотній характеристиці її розімкненої системи.

Хай передаточна функція дискретної системи управління в розімкненому стані має вигляд

,

де , – поліноми від .

Критерій Найквіста. Якщо розімкнена система нестійка і її характеристичне рівняння має основних коренів в правій напівплощині і не містить коренів на уявній осі, то для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкненої системи (годограф частотної передаточної функції при зміні частоти від 0 до охоплювала точку раз.

Якщо розімкнена система стійка, то для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкненої системи не охоплювала точку .

Доказ. Розглянемо функцію

У чисельнику маємо характеристичний поліном замкнутої системи, а в знаменнику – характеристичний поліном розімкненої системи. Для того, щоб замкнута система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб всі нулі характеристичного полінома замкнутої системи розташовувалися в лівій напівплощині або відповідно до принципу аргумента (див. (23.5)) виконувалася рівність

За умовою характеристичне рівняння має основних коренів в правій і останні основних корені в лівій напівплощині. Тому відповідно до принципу аргументу

І так як , то

.

Звідси слідує: для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф вектора охоплював початок координат раз.

Через рівність годограф виходить з годографа шляхом зрушення останнього вліво на одиницю (рис. 23.2). Тому для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф вектора при зміні частоти від 0 до охоплював точку раз.

Рис. 23.2. До доказу критерію Найквіста:

а – годограф ; б – годограф

Якщо розімкнена система стійка, то і для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб годограф не охоплював точку .

Приклад 23.1. Передаточна функція розімкненої системи

.

період проходження імпульсів Дослідити стійкість замкнутої системи.

Рішення. Визначимо стійкість по критерію Найквіста.

Частотна передаточна функція розімкненої системи визначається таким чином:

.

Ввівши позначення

випишемо окремо дійсну і уявну частини:

Рис. 23.3. АФЧХ

Амплітудно-фазова частотна характеристика (рис. 23.3) не охоплює точку Розімкнена система стійка, оскільки нулі і характеристичного полінома розімкненої системи по модулю менше одиниці.

Отже, замкнута система стійка.