Прямі показники якості

Серед прямих показників найчастіше використовуються час регулювання і перерегулювання. Нагадаємо: часом регулювання називається мінімальний час, після закінчення якого відхилення перехідної характеристики від сталого значення не перевищує заданої величини (рис. 24.1). Зазвичай приймають .

Рис. 24.1. Перехідна характеристика

Перерегулюванням називають максимальне відхилення перехідної характеристики від сталого значення, виражене у відсотках до сталого значення:

Для графічного визначення прямих показників якості необхідно мати перехідну характеристику. Її можна побудувати по дискретній перехідній функції , сполучаючи дискретні точки плавної кривої.

Розглянемо обчислення перехідної функції. За визначенням перехідна функція є функція, яка описує реакцію системи на одиничну дію за нульових початкових умов. І так як -зображення від одиничної гратчастої функції має вигляд

де – передаточна функція щодо входу і виходу .

Зображення перехідної функції є відношення поліномів:

З іншого боку, за визначенням -перетворення

Тому значення перехідної функції можна знайти, розклавши у ряд Лорана шляхом ділення чисельника на знаменник за правилом ділення многочленів. При цьому в многочленах і доданки повинні розташовуватися в порядку убування ступеня .

Приклад 24.1. Визначити значення перехідної функції дискретної системи з передаточною функцією

Рішення. -зображення перехідної функції має вигляд

Провівши ділення чисельника на знаменник за правилом ділення многочленів, для перших п'яти доданків отримаємо

Звідси маємо , , , , , .

Якщо різниця між ступенями знаменника і чисельника дорівнює , то перший член розкладання у ряд Лорана буде мати ступінь . Тому перші значень будуть дорівнювати нулю:

Інший спосіб обчислення перехідної функції заснований на формулі розкладання, яка визначається таким чином: якщо всі полюси функції (тобто корені рівняння ) прості і не дорівнюють нулю, то [6]

(24.1)

де .

Початкові значення: при і при .

Приклад 24.2. Визначити перехідну функцію , якщо -зображення має вигляд .

Рішення. В даному випадку і . Похідна є , полюсами є і і відповідно до формули (24.1)

Початкове значення , оскільки ступінь чисельника менше ступеня знаменника.

Якщо має кратні полюси, то полюсу кратності у формулі розкладання відповідає доданок, визначуваний граничним співвідношенням [6]

(24.2)

Якщо серед полюсів є нульовий полюс ( ), то при обчисленні відповідного цьому полюсу доданку слід користуватися формулою (24.2) і у тому випадку, коли цей полюс є простим.

Приклад 24.3. Визначити перехідну функцію , якщо її -зображення має вигляд .

Рішення. В даному випадку и . Похідна є , полюси , и . Доданок, відповідний нульовому полюсу ( ), відповідно до формули (24.2) визначається таким чином:

Полюс має кратність 2, і йому відповідає доданок

Полюс є простим, і йому відповідає доданок (див. (24.1))

Таким чином, маємо

Початкове значення: .

Обчислення перехідної функції між точками знімання сигналів. Функція визначає значення перехідної функції в моменти знімання сигналу . При необхідності можна отримати функцію , яка визначає значення перехідної функції в проміжні моменти часу ,

Рис. 24.2. Структурні схеми (до визначення перехідної функції ):

а – початкова схема; б – перетворена схема

Для цього розглянемо структурну схему (рис. 24.2, б), яка виходить з початкової (рис. 24.2, а) підключенням на виході ланки чистого запізнювання.

З цих схем маємо

Оскільки і при одиничній вхідній дії і нульових початкових умовах і то . Відповідно для -зображень перехідних функцій і маємо

(24.3)

де .

Приклад 24.4. Нехай в дискретній системі (см. рис. 24.2, а) , , і період проходження імпульсів Потрібно визначити гратчасту функцію, яка приймає значення перехідної функції у моменти де