применение методов теории размерностей в подземной гидравлике

1.Методы теории размерностей часто применяются в подземной гидравлике. Они оказываются полезными уже при выводе основного закона фильтрации — закона Дарси.

Основное предположение при выводе этого закона заключается в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется вектором градиента давления gradp и характеристиками пористой среды и жидкости.

Пористая среда считается однородной и изотропной и характеризуется следующими параметрами: средним размером пор d, безразмерным коэффициентом пористости m и некоторыми другими характеристиками, которые также можно считать безразмерными, например кривой распределения пор по размерам.

Фильтрующаяся жидкость, которую мы сперва считаем однокомпонентной и ньютоновской, характеризуется только вязкостью m и плотностьюr.

Таким образом, мы принимаем, что скорость фильтрации w зависит от параметров gradp, d, m , m, r, а также от других безразмерных характеристик пористой среды, влияние которых мы здесь не обсуждаем.

Среди перечисленных параметров только одна величина gradp является вектором. Отсюда следует, что направления векторов скорости фильтрации и градиента давления должны совпадать. Если бы вектор скорости фильтрации составлял конечный угол с вектором градиента давления, то при повороте малого элемента пористой среды вокруг направления вектора градиента давления он тоже должен был бы повернуться вместе с элементом. Но поскольку при таком повороте свойства течения не должны меняться, так как среда изотропна, вектор скорости фильтрации должен оставаться неизменным. Это может быть только в том случае, если вектор скорости направлен вдоль вектора градиента давления. Таким образом, получаем gradp=-сw, где с — скаляр, зависящий только от модуля вектора скорости, а также от величин d, m , m, r..

Закон Дарси справедлив для медленных фильтрационных процессов, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких процессов несущественна плотность жидкости r, определяющая свойство ее инерции

Таким образом, для медленных без инерционных течений ньютоновской жидкости в изотропной пористой среде коэффициент пропорциональности C является функцией от определяющих параметров C=f (w, d, m, m) Размерности определяемого и определяющих параметров, как нетрудно видеть, записываются в виде

Первое из этих соотношений следует из того, что размерности обеих частей уравнения gradp=-Cw должны быть одинаковыми. Как видно, в данном случае п = 4, k = 3, так что п—k = 1. Размерности параметров w, d и m, как легко проверит , независимы; безразмерным параметром подобия здесь оказывается четвертый определяющий параметр - коэффициент пористости m. Имеем, очевидно,

так что

и анализ размерности дает окончательно

Заметим, что в данном случае независимость С от скорости получилась из одного анализа размерностей.

Обозначим величину d²/Ф(m) через К. Данная величина называется коэффициентом проницаемости. Закон фильтрации gradp=-Cw приводится при этом к виду

w =-k/m grad р

2.Если инерция жидкости существенна, что обязательно будет при больших скоростях фильтрации, например в призабойной зоне скважины, то к числу определяющих параметров добавится плотность жидкости r, а к числу безразмерных параметров подобия — параметр П2 = w d/m, называемый числом Рейнольдса фильтрационного движения в порах.

Тогда, cоотношение gradp=-Cw согласно анализу размерностей переписывается в более сложном виде

При малых значениях параметра П₂ функцию Ф_k согласно формуле конечных приращений Лагранжа можно представить в виде

Согласно сказанному в п. 1 величина Ф_k (0, m) должна быть равной единице. Подставляя найденное Ф_k в предыдущую формулу и вспоминая, что k=d² /Ф (m), находим

где b —также некоторая функция пористости.

Выражение представляет собой двучленный закон фильтрации.