Приклади нелінійних задач

Розглянемо задачу, наведену у [???], яка тлумачиться як «виключний випадок» у тому розумінні, що теорема Кастільяно не дає належного результату, коли переміщення не пропорційні силам. Проте автор при застосуванні теореми Кастільяно не використовує поняття додаткової потенціальної енергії, а помилково користується величиною потенціальної енергії пружної деформації, вираженою через сили.

Відносна подовжена деформація дорівнює

.

Ураховуючи, що

, .

Відповідно

.

; ,

; , .

Для окремого стержня AC₁ маємо залежності:

переміщення ,

деформації , .

Рівність варіацій робіт внутрішніх і зовнішніх сил

дає

,

або, ураховуючи рівняння рівноваги .

Зазначимо, що задача є фізично лінійною і тому залежності і, відповідно, є лінійними (рис. 14.6).

,

але з рис. 14.4

,

або

;

; .

Рівність

(♦)

є перетворенням Лежандра, а функції і є двоїстими за Юнгом (рис. 14.8).

Наприклад,

,

тоді

,

,

,

.

Відповідно, теореми Лагранжа і Кастільяно дають

; .

Згідно з теоремою Донкіна, якщо , а ,

.

Зазначимо, що для лінійних задач, значення квадратичної форми і її перетворення Лежандра у відповідних точках співпадають = .

Для форми це являє собою відому властивість дотичної до параболи.

Загалом це можна довести наступним чином. За теоремою Ейлера про однорідні функції

.

Тому

.

Причому

,

,

.

; ; ;

.

Координату точки 1 знаходимо із умови

; ; ;

.

Координату точки 2 знаходимо із умови

; ; .

Якщо - однорідна квадратична форма, тобто є вісь симетрії.

Наприклад, у випадку одновісного розтягу (рис.14.4) відповідні перетворення Лежандра мають вигляд

;

, - двоїсті за Юнгом функції.

,

або, ураховуючи, що

; ,

,

, , ,

і - двоїсті за Юнгом функції, які являють відповідно потенціальну енергію пружної деформації і додаткову потенціальну енергію.

Перетворення Лежандра (рис. 14.11)

,

; ,

.

Функція являє собою функціонал Лагранжа , або повну потенціальну енергію системи (із зворотнім знаком), на графіку показаний суцільною лінією.

Ділянка 0-1 цієї лінії відповідає навантаженню системи ( – додаткова потенціальна енергія або робота внутрішніх сил), а ділянка 1-2 – розвантаженню, тобто приведенню системи у первісний стан. Вісь О–О ; яка є умовою перетворення Лежандра, є віссю симетрії. У загальному випадку це має місце для так званих лінійних систем, двоїсті функції яких рівні і ???.

Якщо, наприклад, (рис. 14.12), то можна отримати

,

,

де – координата екстремуму, а – координата середини.

Порівнюючи ці залежності, тобто криві і (рис. 14.13), можна отримати:

1. , якщо ;

2. , якщо ;

3. , якщо .

Ураховуючи, що

,

послідовно отримаємо:

1. , якщо ;

2. , якщо ;

3. , якщо .

Проілюструємо ці положення на подальших прикладах нелінійних задач.

Функціонал Лагранжа задачі являє собою функцію (рис. 14.14)

,

екстремум якої послідовно дає

; ; ,

.

; .

Зазначимо, що у випадку нелінійної задачі крива не є симетричною відносно вісі у зв’язку з нелінійною залежністю (рис. 14.15). Наприклад, зменшення вдвічі вимагає відповідне зменшення у 8 разів.

Як приклад, розглянемо наступну нелінійну задачу [Варвак], де задана залежність , яка має опуклість, протилежну порівняно із розглянутою вище (рис. 14.16). Необхідно побудувати перетворення Лежандра і функціонал Лагранжа.

Тоді:

,

,

(рис. 14.17).

Справді, згідно з перетворенням Лежандра

,

,

, ,

.

Відповідно, теореми Лагранжа і Кастільяно дають

; .

Згідно з теоремою Донкіна

.

Функціонал Лагранжа задачі являє собою функцію (рис. 14.18)

,

екстремум якої дає

; ;

.

;

– мінімум,

; ; .

і

,

,

, ,

, .

Тобто, у даному випадку нелінійної задачі крива теж не є симетричною відносно вісі у зв’язку з нелінійною залежністю , проте характер зміщення екстремуму протилежний, що пояснюється опуклістю кривої (рис. 14.19).

Рекомендована література

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М., 1978. - 287с.

2. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М, 1983, с. 140-237.

3. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М, 1990, с.25-68.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М, 1979, с. 11-43.

5. Аппель П. Руководство теоретической (рациональной) механики, том 1. М, 1911.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М, Наука, 1989.

7. Бабенко А.Є., Бобир М.І., Бойко С.Л., Боронко О.О. Теорія пружності. Частина 1. – К.: «Основа», 2009.

8. Баженов В.А., Богуцкий О.А., Гоцуляк Е.А. Расчет тонких пластин, односторонне опертых по контуру. В сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений», вып. 59, К. Будівельник, 1991, с. 3-10.

9. Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Богуцкий О.А. Численная реализация метода квадратичного программирования для расчета стержневых конструкций, односторонне взаимодействующих с упругим основанием. В сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений», вып. 58, К., Будівельник, 1991, с. 3-8.

10. Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Кондаков Г.С., Оглобля А.И. Устойчивость и колебания деформируемых систем с односторонними связями, К. – Высшая школа, 1989.

11. Баженов В.А., Гранат СЛ., Шишов О.В. Будівельна механіка. - Київ, 1999. 584 с.

12. Баженов В.А., Дехтярюк Е.С. Будівельна механіка. Динаміка споруд. Київ, 1998, 207 с.

13. Баженов В.А., Дехтярюк Є.С. Імовірнісні методи розрахунку конструкцій. Випадкові коливання пружних систем. – К.; ВІПОЛ, 2005.

14. Баженов В.А., Іванченко Г.М., Шишов О.В. Будівельна механіка. Розрахункові вправи. Задачі. Комп’ютерне тестування. – К: Каравела, 2007.

15. Баженов В.А., Криксупов Е.З., Перельмутер А.В., Шишов О.В. Інформатика. Інформаційні технології в будівництві. Системи автоматизованого проектування. – К, Каравела, 2004.

[1] Важко сказати, коли вперше була висловлена думка про найбільшу «місткість» кола і сфери серед всіх замкнених кривих однакової довжини, або поверхонь однакової площі. Один з останніх учнів афінської школи платоніків Симпліций (VI ст. н. е.), що склав незадовго до остаточного краху античної цивілізації великий коментар до праць Арістотеля (IV ст. до н. е.), пише: «Доведено до Арістотеля, бо він користується цим, як відомим, а потім більш повно – Архімедом і Зенодором, що серед ізопериметричних фігур найбільш містким є коло, а серед ізопіфанних – куля». У цих словах визначена постановка таких екстремальних задач: серед плоских замкнених кривих, що мають задану довжину, знайти криву, яка охоплює найбільшу площу, і серед просторових замкнених поверхонь, що мають задану площу, знайти поверхню, яка охоплює найбільший об'єм. Для філософа-платоніка така постановка задачі є природною і пов'язана з пошуком ідеальних форм. Недаремно коло і куля були в давнину символами геометричної досконалості.

[2] Прозаїчніше мотивування ізопериметричної і близьких до неї задач можна знайти в дещо наївній, але достатньо виразній формі в легенді про Дідону. Нагадаємо її за «Енеїдою» римського поета Вергілія. Фінікійська царівна Дідона із невеликим загоном жителів міста Тіра, рятуючись від переслідувань тирана – брата Дідони, покинули рідне місто і відправилися на кораблях на захід вждовж берегів Середземного моря. Вибравши на африканському узбережжі зручне місце (нинішня Туніська затока), Дідона і її супутники вирішили заснувати тут поселення. Мабуть, ця ідея не сподобалася місцевим жителям, але Дідоні вдалося умовити їх предводителя Ярба, і він необережно погодився поступитися клаптиком землі, «який можна оточити бичачою шкурою». Ярб не відразу зрозумів хитрість і підступність фінікіянки. Розрізавши шкуру на тонкі смужки, Дідона зв'язала їх в один довгий ремінь і, оточивши їм значну територію, заклала на ній місто Карфаген (фінікійське Картадашт – нове місто). На згадку про цю історію цитадель Карфагена дістала назву Бірса (мовою пунійців, так римляни називали жителів Карфагена, – шкура). Цією назвою послуговуються і досьогодні. Всі ці події легенда відносить до 825 (або до 814) р. до н.е.

У такій ситуації виникає та ж сама класична ізопериметрична задача: вказати оптимальну форму ділянки землі, яка при заданій довжині периметра L має найбільшу площу S. Її розв’язком є коло. Інші постановки задачі можна отримати якщо, як це природно припустити, Дідона хотіла зберегти вихід до моря. На відміну від класичної ізопериметричної задачі, ці задачі будемо називати задачами Дідони.

[3] Перший загальний аналітичний прийом розв’язання екстремальних задач розроблений П’єром Ферма. Відкритий він, мабуть, у 1629 р., але вперше достатньо повно викладений в листі до Роберваля у 1638р. Щоб осягнути первинну думку Ферма можна звернутися до книги Декарта, де цей лист наведений. (Р. Декарт. Геометрія. З додатком вибраних робіт П. Ферма і листування Декарта. − М. − Л.: ГОНТІ, 1938, с. 154). Сучасною мовою (правда, у Ферма лише для поліномів) прийом Ферма зводиться до того, що при знаходженні екстремуму функції без обмежень в точці екстремуму має виконуватися рівність . Відомо, що перший натяк на цей результат з’явився в словах Кеплера із «Стереометрії винних бочок».

Точного сенсу міркування Ферма набули через 46 років, коли у 1684 р. з'явилася робота Лейбніца, в якій закладалися основи математичного аналізу. Вже сам заголовок цієї роботи, який починається так: «Nova methodus pro maximis et minimis...» («Новий метод знаходження найбільших і найменших значень...»), свідчить про важливість задачі знаходження екстремумів в становленні сучасної математики. У своїй статті Лейбніц не тільки отримує як необхідну умову співвідношення (цей результат зараз називають теоремою Ферма),але і використовує другий диференціал для розрізнення максимуму і мінімуму. Слід зазначити, що більшість наведених Лейбніцем фактів на той час були відомі також і Ньютону. Проте його робота «Метод флюксій», завершена в основному до 1671 р., була опублікована тільки у 1736 р.