Приклади розв’язання задач
Задача 1. Довести, що , вважаючи, що властивості числових нерівностей вже доведено.
Розв’язання.Розглянемо очевидну для будь-якого натурального числа нерівність . За властивістю монотонності відносно множення для довільного отримаємо нерівність .
Задача 2. Теорема (Архімеда). .
Доведення.Зрозуміло, що треба розглянути лише випадок . За означенням відношення порівняння натуральних чисел в цьому випадку існує натуральне число таке, що . Візьмемо і застосуємо означення множення. Тоді . Отже, треба порівняти числа і . За попередньою теоремою , а значить при будь-якому натуральному отримаємо , звідки випливає нерівність, що доводиться.
Задача 3. Довести, що .
Доведення.Застосуємо принцип індукції по . При одержимо
.
Припустимо, що для натурального вірна імплікація
.
Для отримаємо . За індуктивним припущенням маємо наслідок . Отже, .
Задача 4. Показати, що між довільними двома різними раціональними числами існує принаймні одне раціональне число.
Вказівка.Розгляньте півсуму даних чисел.
Задача 5. Показати, що в множині раціональних чисел не існує такого перерізу, що в класі А є найбільший, а в класі В є найменший елемент.
Доведення.Нехай а - найбільший в А, в - найменший в В. Тоді а<в. Існує раціональне с таке, що а<с<в. Оскільки c>a, то с не належить до класу А, оскільки c<в, то с не належить до В. Отримали протиріччя з означенням перерізу.
Задача 6.Довести властивість різниці: .
Розв’язання.Нехай , , . Тоді
,
і
Цілі числа в правих частинах останніх двох рівностей належать одному класу, або, інакше, рівні між собою.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. Впорядкувати цілі числа
.
2. Впорядкувати раціональні числа:
.
З. Порівняти цілі числа і знайти їх суму та різницю: .
4. Порівняти раціональні числа і знайти їх суму та різницю:
5. Довести властивості різниці
1). ,
2). ,
3). .
6. Довести рівності , .
7. На множині операція додавання визначена наступним чином: . Операція множення звичайна. Перевірити, чи для цих операцій виконуються аксіоми системи дійсних чисел. Виразити похідну, задану формулою , через звичайну похідну.
8. Довести наслідки з аксіом множини дійсних чисел:
1) для будь-яких має місце лише одне із співвідношень: , , .
2) для будь-яких виконується імплікація: .
3) для будь-якого виконується імплікація .
4) .
Дата добавления: 2016-12-08; просмотров: 863;