Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.

В математиці, на відміну від експериментальних наук, основна частина її положень не може бути перевірена експериментально. Тому в математиці переважає логічний спосіб доведення. Це пояснюється абстрактним характером об’єктів.

Аксіоматична побудова математики стала можливою після накопичення великої кількості математичних фактів. Перша спроба аксіоматичної побудови математики була зроблена в 3 ст. до н.е. в Стародавній Греції Евклідом. Ним була написана робота «Начала», яка складалася з 13 книг. В «Началах» Евкліда формулюються аксіоми та постулати, доводяться теореми на основі теорем та постулатів. Незважаючи на наявність недоліків в запропонованій Евклідом аксіоматичній побудові геометрії, «Начала» до середини 19 сторіччя вважалися зразком наукової строгості.

В розвитку аксіоматичного методу виділяють три етапи:

1. Від Евкліда до середини 19 сторіччя.

2. Середина 19 сторіччя. Цей період пов’язаний з відкриттям Лобачевським неевклідової геометрії. Також в цей час активно створюються інші аксіоматики евклідової геометрії: Гільберта, Вейля та ін.

3. На початку 20 сторіччя виникли труднощі в обґрунтуванні математики, обумовленні появою парадоксів в теорії множин. Для подолання цих труднощів Гільберт запропонував свою теорію доведень, яка була названа метаматематикою.

Аксіоматичний метод є цінним інструментом наукових досліджень, за допомогою якого вдається розкрити зв’язки між поняттями та математичними теоріями. Він дозволяє зробити викладення теорії математично строгим.

Геометрія вивчає властивості та відношення низки понять: точка, пряма, кут, коло и т.п. При цьому до їх наукового викладу пред’являються вимоги послідовності, логічного зв’язку та ін.. Цього можна досягти шляхом чіткого розбиття всього матеріалу геометрії на ряд точно сформульованих тверджень, якими є аксіоми, теореми, означення.

Аксіомою називається твердження, яке приймається без доведення. Твердження, справедливість якого перевіряється доведенням, називається теоремою. Під доведенням розуміють ланцюжок тверджень, які випливають одне з іншого за правилами логіки. Строго довести яке-небудь твердження означає вивести його з аксіом.

Твердження, що встановлює зміст нового поняття та розкриває смисл нового терміну, називається означенням. Як правило, означення нового поняття дається на базі раніше означених, тобто маємо справу з неперервним ланцюжком означень. Тому виникає необхідність прийняти без означення деякі поняття. Їх називають основними або неозначуваними. Основні поняття діляться на основні об’єкти та основні відношення.

Таким чином, дедуктивна схема викладення теорії полягає в наступному:

1. перераховуються основні поняття;

2. з їх допомогою даються означення інших понять;

3. формулюються аксіоми (система аксіом);

4. на базі аксіом доводяться теореми.

Звичайно, у виборі аксіом, які покладаються в основу теорії, є певний ступінь довільності. Але зазвичай аксіоми виникають природним чином, з пізнання дійсності.

Суть аксіоматичного методу полягає в наступному:

· кожне поняття повинно бути або внесено до списку неозначуваних понять, або означене;

· кожне твердження повинно бути або внесено до списку аксіом, або доведене.

Характерною рисою аксіоматичного методу є його абстрактність. Про основні поняття відомо лише те, що про них сказано в аксіомах, вони позбавлені конкретного змісту.