Вычисление ротора в ДСК

Пусть задана ДСК, в которой вектор имеет стандартный вид:

Умножив скалярно это равенство последовательно на орты , получим соответствующие проекции на оси ДСК. Так, например, для компоненты: . С другой стороны, умножив уравнение (3.11) на вектор и внося его под знак интеграла, получим

. В поверхностном интеграле сделаем циклическую перестановку в смешанном произведении и обозначим , тогда

. По формуле Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл преобразуем в объемный

Так как интегрирование ведется по произвольному объему, то подинтегральные функции равны

. Нетрудно установить, что

. Следовательно,

Аналогичные вычисления необходимо провести и для остальных компонент ротора, для чего достаточно подставить в предыдущие формулы соответствующие орты:

и . Окончательно выражение ротора в ДСК будет иметь следующий вид: (3.12)

Эту формулу удобно запомнить, если записать с помощью определителя:

(3.13)

Упражнение 3

1) Вычислить линейный интеграл в плоском векторном поле:

а) , вдоль полуокружности

b) вдоль линии L: от точки до точки .

c) , вдоль параболы от точки до точки .

2) Вычислить работу силового поля , вдоль дуги окружности от точки до точки .

3) Вычислить линейный интеграл в векторном поле

, вдоль витка винтовой линии в направлении возрастания параметра .

4) Найти ротор следующих векторных полей:

a)

b)

c)

d)

5) Вычислить ротор векторных полей, если - постоянные векторы, - радиус-вектор:

a)

b)

c)

d)

Лекция 4. "Набла" – исчисление

4.1.Операции первого порядка по «набла»

Если посмотреть на пройденный материал, то можно заметить, что до сих пор было введено по сути три новых понятия: градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля. В ДСК они имеют следующий вид:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

При внимательном рассмотрении системы (4.1)-(4.3) не трудно обнаружить общую закономерность в написании всех трех формул. Эта закономерность становится еще более очевидной, если ввести дифференциальный, векторный опeратор, имеющий в ДСК следующий вид: (4.4)

Оператор (4.4) называется "набла"-оператор, или оператор Гамильтона. Его компоненты в ДСК имеют вид и подчиняются обычным правилам векторной алгебры. С помощью этого оператора систему (4.1)-(4.3) формально можно записать в виде следующих произведений: - умножение вектора на скаляр,

- скалярное умножение двух векторов,

-векторное умножение двух векторов.

Такая формальная запись позволяет ввести правила, которые значительно упрощают работу с оператором "набла".

1. Оператор "набла" подчиняется известным правилам векторной алгебры и с ним