Выражение ротора в ортогональной КСК
Рассмотрим произвольную ортонормированную КСК ( см. рис.9).
Рис. 9. Вычисление ротора в КСК
Для получения выражения ротора в этой системе координат, воспользуемся формулой, связывающей плотность циркуляции с проекцией ротора на нормаль (3.4). Если замкнутый контур
определить так, как указано на рис. 9., то в качестве нормали можно выбрать соответствующий базисный вектор . Так, например, для криволинейного параллелограмма OACB базисный вектор c точностью до второго порядка малости ортогонален к площадке, ограниченной контуром OACB. В этом случае, используя свойство (3.4), запишем:
. (7.17)
Здесь - проекция ротора на орт , - площадка, ограниченная контуром OACB, - единичный вектор касательный к этому контуру. Чтобы вычислить предел (7.17), необходимо подсчитать циркуляцию вектора вдоль OACB, задавая направление обхода против часовой стрелки. Очевидно, что контурный интеграл равен
С принятой точностью на криволинейных отрезках и , справедливы следующие утверждения: на на на на
С помощью теоремы Лагранжа о среднем получим:
В данном случае мы обозначили - проекции вектора на орт в некоторой точке на кривой или . Разность в круглых скобках будем рассматривать как приращение функции при переходе с отрезка на отрезок . Тогда, используя формулу (7.17), получим
Подставим полученное значение интеграла в формулу (7.17) и выразим площадь криволинейного параллелограмма в ортогональной КСК: тогда
или, используя определение частной производной,
(7.18)
Оставшиеся две компоненты ротора также легко получить, если замкнутые криволинейные контуры выбрать на соответствующих координатных поверхностях (читатель может проделать это самостоятельно):
(7.19)
(7.20)
Полное выражение вектора ротора в ортогональной КСК имеет громоздкий вид и его
удобней представить в виде определителя:
(7.21)
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 810;