Выражение оператора Лапласа в ортогональной КСК.

Чтобы получить выражение в ортогональной КСК, воспользуемся определением:

. Выразим в ортогональной КСК по формуле (7.8), тогда . Если компоненты градиента подставить в формулу (7.16), то

(7.22)

Это и есть искомое выражения оператора Лапласа в ортогональной КСК.

Подведем итог по всей лекции. Выбор той или иной системы координат определяется

соображениями удобства или симметрией решаемой задачи. Наиболее простой и естественной является ДСК, в которой ФМФГ имеет вид единичной матрицы:

(7.23)

из которого видно, что все коэффициенты Ламе тождественно равны единице. Для задания произвольной КСК необходимо задать либо координатные преобразования (5.4), либо определить все компоненты ФМТГ. В ортогональной КСК достаточно знать три функции . Очевидно, что в КСК работать сложнее, чем в ДСК. Это хорошо видно на примере основных векторных операций. Иногда симметрия задачи такова, что использование ДСК становится невыгодным. В этом случае удобной может оказаться ортогональная КСК. Однако бывают задачи, в которых учитывается кривизна пространства ( Римановы пространства). Для такого случая невозможно записать ДСК во всем пространстве и приходится пользоваться произвольными КСК. В этой лекции мы записали выражения основных операций векторного анализа в ортогональной криволинейной системе координат. Очевидно, что вид этих операций можно получить в любой КСК, однако из-за громоздкости мы не станем их приводить. Предоставим эту возможность читателю.

Упражнение 7

1. Вычислить градиенты скалярных полей в цилиндрических координатах.

a)

b)

2. Вычислить градиенты скалярных полей в сферических координатах.

a)

b)

3. Вычислить дивергенцию векторных полей в цилиндрических координатах.

a) ,

b) .

4. Вычислить дивергенцию векторных полей в сферических координатах.

a)

b)

5. Вычислить ротор векторных полей в криволинейных координатах.

a)

b)

c)

d)

6. Записать в сферической и цилиндрической системах координат выражения для оператора Лапласа .