Операция перемещения индексов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Операцией поднятия или опускания индексов называется правило, позволяющее преобразовывать компоненты тензора из одного типа в другой.

Введем эту операцию на примере вектора (тензора первой валентности). Представим в противоположных базисах: . Умножим это равенство скалярно на и воспользуемся определением ФМТГ в ковариантной и смешанной формах, тогда

Сумму вычислим, если воспользуемся свойством .

(9.5.)

Формула (9.5) связывает ковариантные и контравариантные компоненты вектора и называется операцией опускания индекса, т.к. она позволяет вычислить проекции вектора с нижними индексами по проекциям с верхними индексами. Очевидно, что обратная ей операция поднятия индекса будет иметь следующий вид:

(9.6.)

Обобщим эту операцию на многовалентные тензора, например . Представим , множитель преобразуем по формуле (9.6.), тогда

(9.7.)

Это операция однократного поднятия индекса . Применим ее еще раз для второго индекса. Для

этого представим снова и преобразуем по формуле (9.6.).

(9.8.)

Подставим это вычисление в формулу (9.7) (9.9.)

Так выглядит операция двукратного поднятия индексов.

Общее правило поднятия и опускания любого числа индексов. Чтобы передвинуть некоторое число индексов, необходимо компоненты исходного тензора умножить на компоненты ФМТГ столько раз, сколько индексов преобразуется и каждое произведение просуммировать по повторяющимся противоположными индексам.

Приведем пример операции четырехкратного опускания индексов.