Лекция 5. Решение уравнений векторного поля

Метод потенциалов

Рассмотрим вопрос о единственности решения уравнений векторного поля. Запишем эти уравнения в виде системы:

(5.1)

Представим поле в виде суммы двух полей: ,удовлетворяющих следующим уравнениям.

(5.2)

Из этих уравнений видно, что порождается источниками (стоками), т.к. и является чисто источниковым, а чисто вихревым, т.к. причинами его возникновения являются вихри:. Рассмотрим сначала поле . Из таб.1. видно, что если вектор представить в виде: , то он будет решением второго уравнения, т.к.и совместным решением всей системы при условии, что удовлетворяет следующему уравнению: или, окончательно,

(5.3)

Уравнение (5.4) хорошо известно и носит название уравнения Пуассона. Имеется доказательство единственности его решения и известны методы его получения. Таким образом, вопрос о нахождении вектора мы свели к решению дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Это большая самостоятельная задача, с которой читатель познакомится в курсе методов математической физики.

Рассмотрим вторую систему уравнений (5.2). Из первого уравнения этой системы и таб.1. следует, что вектор всегда можно представить в виде: (5.4)

т.к. в этом случае он является решением первого уравнения, поскольку . Для совместного решения системы необходимо, чтобы вектор удовлетворял уравнению

(5.5)

Очевидно, что уравнение (5.6) не проще исходной системы уравнений, т.к. не удалось "расщепить" его на три скалярных уравнения относительно компонент . Чтобы это осуществить, рассмотрим множество векторов , преобразующихся по формуле , (5.6)

где произвольная функция координат. Подставим (5.6) в (5.4) и воспользуемся таб.1.

, т.е. вихревое поле не зависит от добавки градиента произвольной функции к вектор-потенциалу . Другими словами, поле допускает преобразование (5.6). Это свойство вихревого поля называется градиентной инвариантностью. Оно позволяет осуществить калибровку (отбор) вектор-потенциалов так, чтобы упростить уравнение (5.5). Например, Лоренц предложил следующее условие калибровки: .В этом случае уравнение (5.5) принимает вид: . (5.7)

Не трудно сообразить, что (5.7) представляет собой систему трех скалярных уравнений типа (5.3) относительно проекций вектора , т.е. задачу об отыскании поля мы снова свели к проблеме решения уравнения Пуассона.

Таким образом, полное поле теперь можно выразить с помощью потенциалов и , которые, в свою очередь, могут быть получены из решения уравнений Пуассона (5.3), (5.7) и калибровки Лоренца:

(5.8)

Формулы Грина

Рассмотрим формулу Остроградского-Гаусса: . (5.9)

Допустим, что вектор можно представить в виде: , гдеи - произвольные функции координат непрерывные вместе со своими первыми производными внутри области и на поверхности и

имеющие непрерывные вторые производные внутри области. Вычислим

где -производная по направлению . Подставив эти вычисления в (5.9), получим

(5.10)

несимметричную формулу Грина, которая часто используется в теоретических разделах физики. Легко симметризовать эту формулу, поменяв местами функции и в формуле (5.10):

(5.11)