Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского
Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.
В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:
,
Где - правильная несократимая рациональная дробь;
- общий наибольший делитель многочлена его производной ;
- частное от деления на ;
- неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом называется рациональной частью интеграла.
Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:
Пример6.6.60. ;
Применяем метод Остроградского. Здесь ;
Поэтому наибольший общий делитель: и есть ;
Тогда ;
Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:
где и - многочлены степени не выше второй.
Напишем их с неопределенным коэффициентом
Дифференцируя обе части этого равенства найдем:
;
Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:
, Решая ее, найдем:
,
,
,
,
. Следовательно
.
; ;
и т.д.
Подстановки Эйлера
Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.
Рассмотрим эти подстановки:
1-я подстановка Эйлера.
Так называется подстановка
Она применяется, если
Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).
Рассмотрим одну из них: ; возводя обе части в получим:
видим, что член уничтожается – в этом “соль” данной подстановки
.
Тогда ;
.
т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции
Пример6.6.61. .
Где, .
2-я подстановка Эйлера:
;
Она применяется, когда
Пусть
,
Откуда видно, что рационально выражаются через t и dt.
Пример6.6.62.
где
3 -я подстановка Эйлера:
Пусть , но корни трехчлена действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении – при - отрицателен).
Пусть и - корни трехчлена, кроме того, пусть .
Пример6.6.63.
Где,
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 966;