Вычисление площади Фигур
Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции
При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), гдеf(x) - неотрицательная, непрерывная на отрезке [a;b] функция , и установили, что площадь указанной фигуры вычисляется по формуле (рис. 1)
Если криволинейная трапеция ограничена .осью ОХ и другой кривой y= f(x), где f(x) - непрерывная, неотрицательная на данном отрезке функция, то для вычисления площади такой фигуры надо предварительно найти абсциссы точек пересечения кривой с осью OX, затем применить формулу (I) (рис. 2).
Если плоская фигура ограничена и снизу и сверху кривыми, уравнения которых y=f1(x) и y=f2(x), где a≤x≤b и функции f1(x), f2(x) – непрерывны причём f1(x)≤ f2(x), искомая площадь будет представлять собой разность площадей криволинейных трапеций aABb и aCDb:
или (рис. 3).
Пусть фигура ограничена сверху или
снизу дугами нескольких кривых. Для
вычисления площади такой фигуры стараются разбить эту фигуру на части прямыми, параллельными оси Оу, так , чтобы каждая часть была ограничена только одной кривой, как сверху, так и снизу.
( для случая, указанного на рис. 4).
Если непрерывная на [a;b] функция f(x) меняет на нем знак так, что некоторые части графика данной функции находятся с одной стороны от оси ОХ, а иные - с другой, то для вычисления площади фигуры поступим следующим образом: в отдельности вычисляют площадь фигуры, расположенной выше оси ОХ, и фигуры ниже оси ОХ.
А затем берут сумму абсолютных величин всех полученных интегралов.
.
Пример 6.7.6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и синусоидой при 0≤х≤2π .
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме
Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана уравнениями в параметрической форме:
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 720;