Определение двойного интеграла
Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой областью ).
Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых ) Di ( i=1,2,... ,n) ( без общих внутренних точек ) с помощью некоторой сети кривых .
Площади этих областей обозначим соответственно через DS1, DS2, . . . , DSn .В пределах каждой частичной области Di выберем произвольным
образом по точке (xi ;hi) и составим сумму :
.
Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D .
Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях , мы можем составить бесконечно много интегральных сумм , различных между собой.
Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области Di , но так , чтобы все d(Di) взятых областей стремились к нулю при этом .
Может случится , что тогда интегральная сумма s будет иметь предел , не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области Di ; ни от способа выбора точек (xi ; hi) в этих областях.
Этот предел I записывают следующим образом :
. (6.7.7)
Определение 1
Если при d(Di) ® 0 интегральная сумма s имеет предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) , взятым по области D , и обозначается
.
Функция f(x ,y) при этом называется интегрируемой в области D .
Следовательно , по определению
.
Символ dS называется элементом площади .
Возвращаясь к рассмотренной выше задаче , можно , исходя из приведённого определения , сказать , что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :
. (6.7.8)
Эта формула показывает , что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела .
Элемент площади dS = dxdy , т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных .
Доказано , если разбивать область D прямыми , параллельными осям ОХ и ОУ , то частичными будут служить прямоугольники .
Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу.
Поэтому элемент площади dS = dxdy .
Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных .
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 963;