Корреляционное отношение можно рассчитать и по такой формуле

( 8 )

где - сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней .

Значения h распределены на отрезке[0; 1]: 0 £ h £ 1. Чем ближе h к 1, тем теснее связь между переменными Х и Y, тем больше колеблемость Y объясняется колеблемостью X.

В случае линейной зависимости r = h. Если связь — нелинейная, то r < h. Это позволяет использовать h в качестве меры линейности связи между переменными Х и Y. Если коэффициент корреляции r мало отличается от корреляционного отношения h, то зависимость между переменными близка к линейной. В противном случае имеет место нелинейная зависимость между Х и Y.

Проверка значимости корреляционного отношения осуществляется с помощью критерия Фишера (F). Его значение рассчитывается по формуле:

, ( 9 )

где п — объем выборки; т — число групп.

Число групп, по которым осуществляется группировка исходных данных, можно определить по формуле Стерджесса:

m =1+3,322· lgN. (10 )

Критическое значение F определяется по таблицам распределения Фишера (приложение ) по уровню значимости а и числу степеней свободы: F_теор.(a;n₁;n₂), где n₁ = m - 1; n₂ = n - m;

Уровень значимости — это достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данных условиях исследования будут считаться практически невозможными. Появление такого события считается указанием на неправильность начального предположения. Чаще всего пользуются уровнями a= 0,05 или a = 0,01.

Расчетное значение F_набл необходимо сравнить с теоретическим F_теор. По общему правилу проверки статистических гипотез:

- если F_набл< F_кр, нулевую гипотезу о том, что h незначим, нельзя отклонить;

- если F_набл ³F_кр, нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной. Коэффициент hзначимо отличается от нуля.

Квадрат эмпирического корреляционного отношения (h²) называют коэффициентом детерминации. Он показывает, какая часть колеблемости Y объясняется колеблемостью X.

.

Он характеризует роль факторной вариации в общей вариации и может быть исчислен как с помощью дисперсионного анализа (разложением дисперсий методом аналитических группировок), так и с помощью регрессионных уравнений.

1.8. Оценка линейности взаимосвязи

Для оценки степени приближения нелинейной зависимости к линейной используется критерий F:

где h² – квадрат корреляционного отношения; r² – квадрат коэффициента корреляции; n – объем выборки; k_X – число групп по ряду X.

Теоретические значения F_теор находятся по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы n₁ = k_X и n₂ = n - 2.

Если F_расч < F_теор – связь практически можно считать линейной.

Если F_расч. ³ F_теор. – корреляция нелинейная.

Рассмотрим проверку гипотезы линейности на основе данных предыдущего примера.

Значение коэффициента корреляции равно r = - 0,808.

Расчетное значение критерия F по формуле :

Теоретическое значение критерия F для числа степеней свободы n₁ = 10 и n₂ = 37 равно F_теор = 2,18. Видно, что F_расч < F_теор. Таким образом, можно считать, что связь между рассматриваемыми факторами практически линейная.

1.9. Ранговая корреляция

Если п объектов какой-либо совокупности N пронумерованы в соответствии с возрастанием или убыванием какого-либо признака X, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг х. указывает место, которое занимает i-й объект среди других п объектов, расположенных в соот­ветствии с признаком Х (1= 1,2,..., п). Например, при исследовании рынка мы можем задать вопрос с целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженого, водки и т. п.) таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если мы имеем 2 набора ранжированных данных, то можно попытаться установить степень линейной зависимости между ними. Предположим, имеется 5 продуктов, расположенных по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В (табл.1.4).

Таблица 1.4

Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. ,Его расчет основан на различии между рангами:

D = Ранг А - Ранг В.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена р рассчитывается по формуле:

где п - число пар ранжированных наблюдений.

В нашем примере мы имеем 5 пар рангов, следовательно, л = 5.

т. е. между признаками есть достаточно сильная линейная связь. Этот коэффициент изменяется в промежутке от [-1; 1] и интерпретируется так же, как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том, что он применяется для ранжированных данных.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе (t-критерия Стьюдента по формуле

Значение коэффициента считается существенным, если t_набл > t_крит (a; k=n- 2).