Ріс теориясының математикалық негіздері. Скаляр өріс.

Математикалық физикада өріс ұғымы кеңістіктің немесе оның облысының әрбір нүктесінде берілген белгілі бір физикалық шаманың мәндерінің жиынтығын белгілеу үшін қолданылады.

Егер V кеңістігінің әрбір М нүктесіне сәйкес қайсыбір скаляр шаманың анықталған мәні қойылса, онда V кеңістігінде осы шаманың скаляр өрісі анықталған деп айтылады. Мысалы, кеңістіктің, әртүрлі нүктелеріндегі ауаның температурасы температура өрісін жасайды, атмосфералық қысым-қысым өрісін, ал кеңістіктің әртүрлі нүктелеріндегі нүктелік зарядтың потенциалының мәні- электростатиткалық потенциалдың өрісін құрайды.

Өрістің әрбір нүктесі өзінің x,y,z координаталарымен анықталғандықтан скаляр өрістің берілуі қайсыбір u(x,y,z) скаляр фукцияның берілуімен эквивалентті. Бұл функция нүктенің координаталарымен қатар басқа да скаляр аргументтерге, мысалы t уақытқа тәуелді болуы мүмкін.

түріндегі скаляр өріс стационар деп аталады, ал түріндегі скаляр өріс –стационар емес. Біз тек стационар өрістерді қарастырамыз, ал функциясы дифференциалданады және 1-ші және 2-ші реттік үздіксіз дербес туындылары бар деп есептейміз.

скаляр өрісінің M₀ нүктесіндегі мәні u₀ болсын. Біз векторы бойымен M₀ нүктесінен орын ауыстырғанда скаляр өрістің мәні u болатын М нүктесіне келеміз. Осы орын ауыстыру кезіндегі скаляр өрістің өсімшесі . өсімшенің орын ауыстыруының сандық мәніне қатынасының шегі деп белгіленеді және скаляр өрістің M₀ нүктесіндегі бағыты бойынша туындысы деп аталады.

(1.1)

Бұл туындының мәніc бағытын таңдауға байланысты және ешқашан оны скаляр S параметр бойынша алынған қарапайым дербес туындымен салыстыруға болмайды.

скаляр өрістің M₀ нүктесіндегі бағыты бойынша туындысы скаляр өрістің көрсетілген нүктедегі бағыты бойынша өзгеру жылдамдығына тең және скаляр шама болып табылады.

туындысының дифференциалдау бағытына тәуелділігін тексеру үшін бірдей мәндер қабылдайтын өрістің нүктелерін қарастырамыз. Осындай нүктелердің жиынтыьғы деңгейлік бет деп аталатын бетті жасайды. Деңгейлік беттердің теңдеулері былай жазылады:

Суретте скаляр өрістің және мәндеріне сәйкес сызба жазықтығымен қиғандағы деңгейлік беттер берілген. Мысалы, нүктелік электр зарядының немесе зарядталған шардың өрісіндегі электростатикалық потенциалдың деңгейлік беттері концентрлік сфералар болып табылады, ал зарядталған ұзын жіп немесе шексіз цилиндрдің өрісінде- коаксиалды цилиндрлер болып табылады.

Суретте нормаль скаляр өрістің өсу бағытын көрсетеді, ал кез-келген басқа бағыт векторымен берілген.

және - баығт бойынша туындылар

және . Ендеше

, ,

, (1.2)

Егер векторы мен бірлік векторларын енгізсек, онда -ті былай жазуға болады.

Берілген нүктесінде деңгейлік бетке скаляр өрістің өсу бағытында тұрғызылған нормаль бойынша бағытталған және сандық мәні нүктесіндегі нормаль бойынша алынған скаляр өрістің туындысына тең векторын скаляр өрістің градиенті деп атайды. (латын сөзі «градиент»-қадам басушы) және былай белгіленеді:

Ендеше, (1,2) өрнегін мына түрде жазуға болады:

(1.3)

мұндағы - бағытытның бірлік векторы

Ендеше скаляр өрістің бағыты бойынша туындысы векторының бағытындағы проекциясына тең.

(1.3) теңдеуінен векторының бағыты – бұл скаляр өрісі ең тез өсетін бағыт, ал – бағыты –осы осы өрістің ең тез кемитін бағыты. Деңгейлік бетке жанама бағытында скалярлық өрістің мәні өзгермейді: