Асимптотичні формули для схеми Бернуллі

Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймовірностей ,або їх сум..

1) Формули Муавра-Лапласа. Локальна формула :

.

(2)

має місце при p і 1-p істотно відмінних від 0 і великих значеннях n і k . Відносна похибка цієї формули зменшується при зростанні n і зменшенні |k-np|. Вона застосовується звичайно при n >100, np(1– p)>20 і |k- np |< <3 .

Приклад. Знайти ймовірність того, що подія А настане k=85 раз при n=400 випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює p=0.2.

Розв’язання. n=400, p=0.2. np=400 0.2=80, np(1– p)=80 0.8=64, =8, ,

k-np=85-80=5, ,

Інтегральна формула:

.

(3)

де так звана функція Лапласа (або інтеграл помилок). Значення цієї непарноїфункції наведені в таблиці 1 додатка, а її графік­ на рис. 1.17. Формула (4) є твердженням теореми Муавра-Лапласа з пункту 3.2.4. Вона використовується тоді, коли і формула (3 )

.

Приклад 2.Гральний кубик підкидається 1200 раз. Знайти ймовірність того, що кількість випадань одиниці знаходиться в діапазоні між 195 та 210 включно. Розв’язання.Оскільки n=1200, p=1/6, то маємо = = . Подальше обчислення пов’язане з великими труднощами. Тому скористаємося формулою (3). Оскільки np=200, , d– np =10, c– np = – 5, шукана ймовірність приблизно дорівнюватиме

Рис.1.7