Формула повної ймовірності

Нехай є n припущень (гіпотез) Hk (k=1,...,n) щодо умов проведення випробування, з яким пов’язана подія А. При цьому із тих чи інших міркувань відомі ймовірності P(Hk), P(A/Hk). Як можна прогнозувати спроможність появи події А? Теорема. Нехай події Hk (k=1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність   (4)

Рис. 1.5

Доведення. Оскільки W=H₁ÈH₂È...ÈH_n, то подію A можна представити у вигляді суми попарно несумісних подій

A = A·H₁ÈA·H₂È...ÈA·H_n

рис.1.5). Послідовно застосовуючи теореми додавання та множення ймовірностей (формулу 3 з аксіом ймовірності розділу 1.2 та формулу (2) розділу 1.3), одержимо:

.

Якщо P(А H_i)=0, то відповідна складова у сумі повинна бути пропущена.

Приклад 1.Футбольна команда грає за схемою 1-4-2-4. Ймовірність забити пенальті для нападника 0.8, півзахисника 0.7, захисника 0.6, вратаря 0.5. Знайти ймовірність того, шо навмання обраний ігрок забиває пенальті.

Розв’язання. Нехай подія А –навмання обраний ігрок забиває пенальті. Призначимо гіпотези:

– вибір нападника;

– вибір півзахисника,

– вибір захисника;

– вибір вратаря . . За формулою повної ймовірності, маємо

(4 0.8+2 0.7+4 0.6+1 0.5)= (3.2+1.4+2.4+0.5)= =0.68.

1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса)

Ця теорема є наслідком формули повної ймовірності..

Теорема. Нехай події H_k (k=1,...,n) утворюють повну систему подій (P(H_k)>0). Тоді для будь-якої події A (P(A)>0), що настала у наслідку проведення випробувань, виконується співвідношення

(5)

Доведення. Оскільки , то на підставі формули (5) одержимо

.

Події H_k прийнято називати гіпотезами, P(H_k) - апріорними (відомими до проведення випробування), а P(H_k/A) - апостеріорними (обчисленими після випробування) ймовірностями цих гіпотез. Формула (7) показує, як треба переоцінити ймовірності здійснення кожної гіпотези, якщо подія А настала.