Пример решения задачи 2 контрольной работы.

Задание № 1. Для выборок величин (данные приведены в таблице 3.4) найти выборочные средние и выборочные дисперсии и выборочные средние квадратичные отклонения по формулам при :

Решение. Для данных выборочных величин находим суммы по формулам и результаты заносим в таблицу 3.4.

Таблица 3.4.

№
	3,9	4.1	5,1	15,21	16,81	26,01
	3,7	2,2		13,69	4,84
	3,5	2,7	5,5	12,25	7,29	30,25
	4,3	3,6	6,1	18.49	12,96	37,21
	3,8	3,9	6,9	14,44	15,21	47,61
	2,8	0,6	3,8	7,84	0,36	14,44
	2,9	2,1	5,5	8,41	4,41	30,25
	4,8	3,5	6,9	23,04	12,25	47,61
	3,8	4,4	5,5	14,44	19,36	30,25
	3,2	3,8	5,3	10,24	14,44	28,09
	4,8	3.7	6,4	23,04	13,69	40,96
	3,6	2,9	4,4	12,96	8,41	19,36
	3,6	3,2	7,1	12,96	10,24	50,41
	3,4	4,2	5,5	11,56	17,64	30,25
	3,2	2,7	5,7	10,24	7,29	32,49
	2,8	2,6	4,7	7,84	6,76	22,09
	1,9	1.6	4,3	3,61	2,56	18,49
	3.7	2,3	5,6	13,69	5,29	31,36
	3,4	3,1	6,3	11,56	9,61	39,69
	4.7	3,7	7.2	22,09	13,69	51,84
	71,8	60,9	111,8	267,6	203,11	644,66

По полученным данным, используя формулы, находим выборочные средние:

Средние квадратов:

Выборочные дисперсии:

Выборочные средние квадратичные отклонения:

Задание №2. Используя полученные данные, найти выборочные коэффициенты корреляции:

Расчетные формулы

где

Результаты записать в виде корреляционной матрицы:

Используя критерий Стьюдента, проверить значимость коэффициентов для чего вычислить при и сравнить с критическим значением (для ). Коэффициент будет значимым, если

Решение: Промежуточные результаты занесем в таблицу 3.5:

Таблица 3.5

№
	3,9	4,1	5,1	15,99	19,89	20,91
	3,7	2,2		8,14	14,8	8,8
	3,5	2,7	5,5	9,45	19,25	14,85
	4,3	3,6	6,1	15,48	26,23	21,96
	3,8	3,9	6,9	14,82	26,22	26,91
	2,8	0,6	3,8	1,68	10,64	2,28
	2,9	2,1	5,5	6,09	15,95	11,55
	4,8	3,5	6,9	16,8	33,12	24,15
	3,8	4,4	5,5	16,72	20,9	24,2
	3,2	3,8	5,3	12,16	16,96	20,14
	4,8	3,7	6,4	17,76	30,72	23,68
	3,6	2,9	4,4	10,44	15,84	12,76
	3,6	3,2	7,1	11,52	25,56	22,72
	3,4	4,2	5,5	14,28	18,7	23,1
	3,2	2,7	5,7	8,64	18,24	15,39
	2,8	2,6	4,7	7,28	13,16	12,22
	1,9	1,6	4,3	3,04	8,17	6,88
	3,7	2,3	5,6	8,51	20,72	12,88
	3,4	3,1	6,3	10,54	21,42	19,53
	4,7	3,7	7,2	17,39	33,84	26,64
	71,8	60,9	111,8	226,73	410,33	351,55

Находим

Находим выборочные коэффициенты корреляции:

Результаты запишем в виде корреляционной матрицы:

Используя критерий Стьюдента, проверим значимость коэффициентов для чего вычислим: для

для

для

Так как полученные значения больше критического значения , то коэффициенты будут значимыми.

Задание №3. Используя найденные коэффициенты корреляции, получить уравнения линейной регрессии на и на . Расчетные формулы:

Найти коэффициенты детерминации и по формулам

где

Решение: Найдем коэффициенты :

Промежуточные данные занесены в таблицу 3.6.

Таблица 3.6.

№
	3,9	4,1	5,1	4,1	3,4	0,51	-0,19	0,31	0,2601	0,0361	0,0961
	3,7	2,2		3,2	2,9	-0,39	-0,69	0,11	0,1521	0,4761	0,0121
	3,5	2,7	5,5	3,4	3,6	-0,19	0,01	-0,09	0,0361	0,0001	0,0081
	4,3	3,6	6,1	3,8	3,8	0,21	0,21	0,71	0,0441	0,0441	0,5041
	3,8	3,9	6,9		4,2	0,41	0,61	0,21	0,1681	0,3721	0,0441
	2,8	0,6	3,8	2,5	2,8	-1,09	-0,79	-0,79	1,1881	0,6241	0,6241
	2,9	2,1	5,5	3,2	3,6	-0,39	0,01	-0,69	0,1521	0,0001	0,4761
	4,8	3,5	6,9	3,8	4,2	0,21	0,61	1,21	0,0441	0,3721	1,4641
	3,8	4,4	5,5	4,2	3,6	0,61	0,01	0,21	0,3721	0,0001	0,0441
	3,2	3,8	5,3	3,9	3,5	0,31	-0,09	-0,39	0,0961	0,0081	0,1521
	4,8	3,7	6,4	3,9		0,31	0,41	1,21	0,0961	0,1681	1,4641
	3,6	2,9	4,4	3,5		-0,09	-0,59	0,01	0,0081	0,3481	0,0001
	3,6	3,2	7,1	3,7	4,3	0,11	0,71	0,01	0,0121	0,5041	0,0001
	3,4	4,2	5,5	4,1	3,6	0,51	0,01	-0,19	0,2601	0,0001	0,0361
	3,2	2,7	5,7	3,4	3,6	-0,19	0,01	-0,39	0,0361	0,0001	0,1521
	2,8	2,6	4,7	3,4	3,2	-0,19	-0,39	-0,79	0,0361	0,1521	0,6241
	1,9	1,6	4,3	2,9		-0,69	-0,59	-1,69	0,4761	0,3481	2,8561
	3,7	2,3	5,6	3,3	3,6	-0,29	0,01	0,11	0,0841	0,0001	0,0121
	3,4	3,1	6,3	3,6	3,9	0,01	0,31	-0,19	0,0001	0,0961	0,0361
	4,7	3,7	7,2	3,9	4,3	0,31	0,71	1,11	0,0961	0,5041	1,2321
	71,8	60,9							3,618	4,054	9,838

Уравнения линии регрессии имеют вид:

Находим коэффициенты детерминации:

Задание №4. Найти уравнение множественной регрессии на и . Для этого сначала составить и решить систему уравнений

затем найти коэффициенты по формулам

и записать уравнение регрессии

Решение. Для нашего случая система имеет вид

Найдем значения и :

Находим коэффициенты :

В нашем случае уравнение регрессии имеет вид

Задание №5. Найти коэффициент множественной детерминации

его скорректированное значение

где - число независимых переменных, проверить значимость . Для этого вычислить наблюдаемое значение

и сравнить его с критическим значением Если гипотеза об одновременном равенстве нулю коэффициентов и должна быть отвергнута, т.е. хотя бы один из коэффициентов и значимо отличаются от нуля.

Решение. Для нахождения используем данные таблиц 3.4 и 3.6, промежуточные данные занесем в таблицу 3.7.

Таблица 3.7.

№
	3,9	4,1	5,1	3,7	0,11	0.31	0,0121	0,0961
	3,7	2,2		2,8	-0,79	0.11	0,6241	0,0121
	3,5	2,7	5,5	3.5	-0,09	-0,09	0,0081	0,0081.
	4,3	3,6	6.1	3,9	0,31	0,71	0,0961	0,5041
	3,8	3,9	6,9	4,2	0,61	0,21	0,3721	0,0441
	2,8	0,6	3,8	2,4	-1,19	-0,79	1,4161	0,6241
	2,9	2,1	5,5	3,3	-0,29	-0,69	0,0841	0,4761
	4,8	3.5	6,9	4,1	0,51	1.21	0,2601	1,4641
	3,8	4.4	5,5	3,9	0,31	0,21	0,0961	0,0441
	3,2	3,8	5,3	3,7	0,11	-0,39	0,0121	0,1521
	4,8	3,7	6,4		0,41	1,21	0,1681	1,4641
	3,6	2,9	4,4	3,2	-0,39	0,01	0,1521	0,0001
	3,6	3.2	7,1	4,1	0,51	0,01	0,2601	0,0001
	3,4	4,2	5,5	3,9	0.31	-0,19	0,0961	0,0361
	3.2	2,7	5,7	3,5	-0,09	-0,39	0,0081	0,1521
	2,8	2.6	4,7	3,2	-0,39	-0,79	0,1521	0,6241
	1,9	1,6	4,3	2.8	-0,79	-1,69	0.6241	2,8561
	3,7	2,3	5,6	3,4	-0,19	0,11	0,0361	0,0121
	3,4	3,1	6,3	3,8	0,21	-0,19	0,0441	0,0361
	4,7	3,7	7,2	4,3	0,71	1,11	0,5041	1,2321
							5,026	9,838

Находим коэффициент множественной детерминации

Его скорректированное значение

Проверим значимость . Для этого вычислим наблюдаемое значение

Так как выполняется условие т.е. то хотя бы один из коэффициентов и значимо отличаются от нуля.

Задание 6. Найти коэффициенты частной корреляции и между и одним из параметров , при исключении влияния другого. Расчетные формулы:

Проверить значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Сделать выводы.

Решение. Находим коэффициенты частной корреляции и используя данные из решения задачи №2.

Используя критерий Стьюдента, проверим значимость коэффициентов , для чего вычислим:

для

для

Так как в первом случае полученное значение меньше критического значения то коэффициент не будет значимым, а во втором случае полученное значение боль критического значения значит коэффициент будет значимым.

Задание №7. Используя критерий Дарбина - Уотсона, проверить данные на наличие автокорреляции. Для этого вычислить величины остатков и величину статистики

­

Сравнить полученные данные со значениями и , найденными по таблице (для Если имеется положительная корреляция, если отрицательная. При автокорреляция отсутствует. В остальных случаях нельзя сделать вывод ни о наличии автокорреляции, ни о ее отсутствии.

Решение. Используя исходные данные и данные задачи №5 составим таблицу 3.8, в которую занесем данные .

Вычислим величину -статистики.

Так как выполняется условие т.е. делаем вывод, что автокорреляция отсутствует.

Таблица 3.8.

	№
		3,9	4,1	5,1	3,7	0,2	-	0,04	-
		3,7	2,2		2,8	0,9	0,7	0,81	0,49
		3,5	2,7	5,5	3,5		-0,9		0,81
		4,3	3,6	6,1	3,9	0,4	0,4	0,16	0,16
	3,8	3,9	6,9	4,2	-0,4	-0,8	0,16	0,64
	2,8	0,6	3,8	2,4	0,4	0,8	0,16	0,64
	2,9	2,1	5,5	3,3	-0,4	-0,8	0,16	0,64
	4,8	3,5	6,9	4,1	0,7	1,1	0,49	1,21
	3,8	4,4	5,5	3,9	-0,1	-0,8	0,01	0,64
	3,2	3,8	5,3	3,7	-0,5	-0,4	0,25	0,16
	4,8	3,7	6,4		0,8	1,3	0,64	1,69
	3,6	2,9	4,4	3,2	0,4	-0,4	0,16	0,16
	3,6	3,2	7,1	4,1	-0,5	-0,9	0,25	0,81
	3,4	4,2	5,5	3,9	-0,5		0,25
	3,2	2,7	5,7	3,5	-0,3	0,2	0,09	0,04
	2,8	2,6	4,7	3,2	-0,4	-0,1	0,16	0,01
	1,9	1,6	4,3	2,8	-0,9	-0,5	0,81	0,25
	3,7	2,3	5,6	3,4	0,3	1,2	0,09	1,44
	3,4	3,1	6,3	3,8	-0,4	-0,7	0,16	0,49
	4,7	3,7	7,2	4,3	0,4	0,8	0,16	0,64
							5,01	10,92

Контрольная работа по курсу «Эконометрия»