Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Определение.Ненулевой вектор линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования f , если выполняется равенство

, (5.4)

где – некоторое число. При этом число называется собственным значениемлинейного преобразования f. Говорят также, что есть собственный вектор,принадлежащийсобственному значению .

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе и Х - матрица-столбец из координат вектора , тогда соотношение (5.4) может быть записано в матричной форме

. (5.5)

Принято говорить, что ненулевая матрица-столбец Х является собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим собственному значению .

Уравнение (5.5) может быть переписано в виде

Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда её определитель равен нулю, т.е.

(5.6)

Определение.Уравнение (5.6) называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями её характеристического уравнения.

Предложение.Собственные значения матриц А и А^Т совпадают.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Запишем характеристическое уравнение

или . Следовательно, – единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводится к единственному уравнению

или . Положим , то ест собственный вектор представляется в виде линейной комбинации

двух линейно независимых векторов

Замечание.Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

Решение. Запишем характеристическое уравнение

или откуда . Найдём собственные векторы. Подставим в систему уравнений

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема.Матрицы А и А^* линейного оператора в базисах и связаны соотношением

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример. В базисе оператор f имеет матрицу . Найти матрицу оператора в новом базисе .

Решение. Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица . Следовательно по формуле выше имеем

Квадратичные формы

Определение.Квадратичной формой ,…, от п переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из этих переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

,…, . (5.7)

Коэффициенты – действительные числа, причём . Матрица А = ( , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид

где Х – вектор-столбец переменных.

То есть

,…,

Пример. Дана квадратичная форма , . Записать её в матричном виде.

Решение. На диагонали лежат коэффициенты при квадратах переменных, а другие элементы – половинам соответствующих коэффициентам квадратичной формы. Следовательно,

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть вектор-столбцы переменных X и Y связаны линейным соотношением , где есть некоторая невырожденная матрица п-го порядка. Тогда квадратичная форма

Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы имеет вид

(5.8)

Формулы можно истолковывать как формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису, поэтому равенство (5.8) можно рассматривать ка выражение для матрицы квадратичной формы L в новом базисе.

Пример.Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной, линейным преобразованием

Решение. Матрица квадратичной формы а матрица линейного преобразования

Следовательно, по формуле (5.8) матрица искомой квадратичной формы

а квадратичная форма имеет вид .

Определение.Каноническим видом квадратичной формы называется выражение

Особенность этого вида в том, что отсутствуют члены с произведением различных координат.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется выражение

Этот вид характеризуется тем, что входящие в него квадраты переменных имеют коэффициенты плюс или минус единица. Количество слагаемых в этой формуле равно рангу квадратичной формы.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа – это метод последовательного выделения полных квадратов квадратичной формы. Например, если , выделим слагаемые, содержащие . Слагаемые, не содержащие , обозначим как .