Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

Знакоопределенность квадратичной формы можно установить, исследуя главные миноры матрицы . Такой способ называется критерием Сильвестра:

Действительная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны:

Действительная квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются, причем :

Пример 4.2.1. Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы.

Решение: Метод Лагранжа заключается в выделении полных квадратов по всем переменным:

Пусть

Тогда исходная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду

Сделав замену

получим нормальный вид квадратичной формы

Ответ: Квадратичная форма

может быть приведена к нормальному виду

с помощью невырожденного преобразования

Тема 6. Элементы аналитической геометрии

Прямая и плоскость

Прямой в пространстве , проходящей через точку с координатами , параллельно вектору , называется множество точек вида

где – любое число. Вектор называется направляющим вектором прямой.

В координатах равенство можно записать

или чисто символически

поскольку некоторые из координат вектора могут равняться нулю.

Определение.Пусть А и В две точки пространства. Отрезком АВ назовём множество точек Х вида

uде t принимает любое значение из промежутка [0, 1].

k-мерной плоскостью в пространстве , проходящей через точку , параллельно линейно независимой системе k векторов , называется множество точек

где – произвольные числа.

Одномерная плоскость – это прямая; n-мерная плоскость в пространстве совпадает с этим пространством.

Гиперплоскость – это (n-1)-мерная плоскость в пространстве , которая задается одним линейным уравнением

где – константы, причем не все числа равны нулю.

Вектором нормали гиперплоскости

называется вектор , такой, что для всех . То есть

Тогда для точек гиперплоскости в имеем уравнение

которое называется векторным общим уравнением гиперплоскости в .

Пусть – декартова прямоугольная система координат в , – некоторый вектор, то в координатах уравнение гиперплоскости можно записать в виде:

Следовательно, в декартовой системе координат коэффициенты общего уравнения прямой являются координатами вектора нормали гиперплоскости. Здесь . Если ввести в рассмотрение единичный вектор нормали

то величина численно равна расстоянию от начала координат до гиперплоскости. Тогда . Положительное (отрицательное) значение означает, что начало координат находится в нижнем (верхнем) полупространстве относительно данной гиперплоскости. Величина называется отклонением начала координат от гиперплоскости.

Пусть – радиус-вектор произвольной точки в . Отклонением точки от гиперплоскости является уравнение гиперплоскости:

Расстояние от точки до гиперплоскости определяется как абсолютное значение этой величины .

Зададим гиперплоскость в декартовых координатах

Тогда

Угол между двумя прямыми: определим из соотношения для скалярного произведения векторов:

Углом между прямой и гиперплоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Зададим прямую параметрически , а плоскость зададим общим уравнением . Тогда

Углом между гиперплоскостями называется угол между прямыми, перпендикулярными заданным плоскостям.

Зададим две гиперплоскости общими уравнениями: и . Тогда

Пусть и – две произвольные точки. Построим прямую, проходящую через две точки и .

или в координатах

В частности, при получим точку , а при получим точку . При получим замкнутый отрезок, а при получим открытый отрезок. При получим луч. Последние равенства можно переписать в виде:

или в координатах

Здесь при описании отрезка числа и пробегают всевозможные действительные положительные значения, связанные между собой равенством: .

В декартовых прямоугольных координатах уравнение плоскости в трехмерном пространстве приводиться к виду

и называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты являются координатами вектора , перпендикулярного к этой плоскости Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости в трехмерном пространстве и соответствующие им виды уравнения.

1. Если плоскость проходит через точку и перпендикулярна к вектору , то ее уравнение записывается в виде:

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат , , в точках , , соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:

3. Если плоскость проходит через точки , где , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

Угол между двумя плоскостями и вычисляется на основании формулы:

где , – нормальные векторы данных плоскостей. Отсюда условие перпендикулярности данных плоскостей можно представить в виде: . Условие параллельности рассматриваемых плоскостей: