Алгебра линейных преобразований.
На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:
1. Умножение на число: .
2. Сложение (вычитание)
3. Умножение .
Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы
1.
2.
3.
Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.
Пусть - некоторый многочлен, - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле .
Свойство 7.1. Пусть . Тогда .
Инвариантные пространства
Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ также принадлежит W.
Свойство 7.2. - инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть . Тогда .
Свойство 7.3. - инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть , тогда .
Свойство 7.4. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .
Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть .
Свойство 7.5. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .
Доказательство. Пусть , тогда . Далее, , то есть .
Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n-k)*k, состоящий из одних нулей.
Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.
Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 1157;