Линейное преобразование и билинейные функции

Пусть V евклидово (унитарное) пространство. Обозначим через множество всех линейных преобразований пространства V, а через B множество билинейных функций, заданных на V. Если , то функция является билинейной. Таким образом, определено однозначное отображение множества линейных преобразований LP в множество билинейных функций B. Исследуем свойства этого отображения.

Свойство 8.1. Разные линейные преобразования отображаются в разные билинейные функции.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть найдутся два разных линейных преобразования и , которые отображаются в одну и ту же билинейную функцию. Тогда для любых векторов справедливо равенство или . Положим , тогда и для любого вектора . Это означат, что линейные преобразования равны, что противоречит допущению.

Свойство 8.2. Отображение линейных преобразований в билинейные функции взаимно однозначно.

Доказательство. Покажем, что для любой билинейной функции существует линейное преобразование , что . Для каждого вектора x определим подпространство . Ортогональное дополнение к этому подпространству имеет размерность не выше 1. Действительно, если и , то и для вектора справедливо включение , и, значит . Определим функцию , где z – базис . Если , то положим . Легко убедиться, что , и, значит функция - линейное преобразование.

Аналогично, можно рассмотреть отображение LP на B, задаваемое формулой . Это отображение взаимно однозначно.

Линейное преобразование называется сопряженным преобразованием к , если для любых векторов x,y из V справедливо равенство . Сопряженное преобразование к обозначают .








Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 761;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.