Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Для оценки устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (3.5) составить определитель Гурвица, размерность которого равна порядку системы.
Определитель Гурвица имеет вид:
. (3.8)
Порядок составления определителя Гурвица следующий. В качестве элемента первого столбца первой строки определителя записывается коэффициент an-1, а затем на главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения (3.4) с последовательно убывающими индексами. При этом в послед выражении нем столбце последней строки определителя записывается коэффициент .
Затем, начиная от коэффициентов, стоящих на главной диагонали, заполняются столбцы определителя так, чтобы индексы коэффициентов, расположенных над коэффициентами главной диагонали, последовательно убывали, а коэффициентов, расположенных под диагональными коэффициентами, – последовательно возрастали. Если в процессе заполнения столбца определителя индекс коэффициента достигает значения n или 0, то дальнейшее заполнение столбца осуществляется нулями.
Далее необходимо вычислить значение определителя Гурвица и всех его диагональных миноров, которые получают из определителя (3.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу определителя. Например, диагональный минор первого порядка равен Δ1 = an-1; диагональный минор второго порядка:
Δ2 = , (3.9)
а диагональный минор третьего порядка:
Δ3 = . (3.10)
Очевидно, что диагональный минор n-го порядка совпадает с определителем Гурвица.
Линейная система устойчива, если при выполнении необходимого условия (3.6), определитель Гурвица и все его диагональные миноры будут положительны.
Пример нахождения минора:
Например, есть матрица:
Предположим, надо найти дополнительный минор M23. Этот минор - определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:
Получаем M23 = 13
Частотные критерии устойчивости: Критерий Найквиста.
Дата добавления: 2017-01-29; просмотров: 2627;