Свойства векторов линейного пространства
1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Доказательство. Если, например, , то равенство (*) справедливо при и, следовательно, эти векторы линейно зависимы.
2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.
Доказательство. Пусть среди данных векторов имеется, например, вектор , который линейно выражается через остальные
.
Прибавляя к обеим частям равенства вектор , получим
,
Т.е. линейная комбинация векторов равна нулю, причём имеются коэффициенты, не равные нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Обратно, пусть векторы линейно зависимы, т.е. имеет место равенство (*) с не равными нулю одновременно коэффициентами . Например, . Перепишем равенство (*) в виде
.
Разделим обе части равенства на . Получим, что линейно выражается через остальные векторы системы
,
3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство
,
в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и справедливо равенство (*).
4. Система из одного вектора { } линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор нулевой.
Доказательство. Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима, тогда найдётся число такое, что . Умножим обе части равенства на c-1. Получим или .
Обратно, если , то очевидное равенство показывает, что система векторов { } линейно зависима.
Определение 13.Линейное пространство Rп называется п - мерным, если в нём существует п линейно независимых векторов, а любые из (п + 1) векторов уже являются зависимыми. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нём линейно независимых векторов. Число п называется размерностью пространства Rп и обозначают dim ( Rп ).
Определение 14.Система векторов из Rп называется базисом пространства в Rп, если:
1. эти векторы линейно независимы;
2. любой вектор из Rп является линейной комбинацией векторов данной системой.
Следовательно, базисом на плоскости будут любые два неколлинеарных вектора, а в пространстве – любые три некомпланарных вектора.
Теорема.Линейно независимая система векторов в Rп тогда и только тогда является базисом, когда их число равно п.
Теорема.Каждый вектор линейного пространства R можно представить (и при том единственным способом) в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство. Пусть векторы образуют произвольный базис п-мерного пространства Rп . Так как любые из (п+1) векторов п-мерного пространства Rп зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы и рассматриваемый вектор . Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа , что
.
При этом , ибо в противном случае, если и хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, то векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,
или
,
где
Предположим, что существует два разложения по базису в Rп, т.е.
,
.
Вычтем одно равенство из другого
.
Поскольку это базис, то все коэффициенты равны нулю, т.е.
Определение. Размерность линейной оболочки векторов называется рангом системы векторов .
Таким образом, ранг системы равен r, если среди векторов системы существует r линейно независимых, а любые q > r векторов данной системы линейно зависимы. Ранг же линейно независимой системы равен числу её членов.
Подсистема системы векторов называется базисом этой системы, если она является базисом линейной оболочки .
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 1123;