Умножение матриц. Обратная матрица

Определение 7.Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, где , .

Пример. Вычислить произведение матриц , где

, .

Решение. Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно.

= .

Определение 8. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных

Преобразований.

Пусть А – невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной матрицы (А│E) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А^-1 .

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А^-1 легко следует, что матрица, обратная для А^-1, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке, из матрицы Е получим А, а из А^-1 матрицу Е. это означает, что А есть обратная матрица для А^-1, т.е. А^-1А = Е.

Пример.Для матрицы

Найти обратную матрицу А^-1 .

Решение. Составим матрицу

.

С помощью элементарных преобразований приведём её левую «половину» А к матрице Е:

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица А^-1:

Способ решения уравнения АХ = В