Свойства умножения вектора на число
Линейные пространства
Арифметические векторы и линейные операции над ними
Определение 1. Арифметическим п - мерным вектором называется любая последовательность из п действительных чисел 
.
Краткая запись 
. Числа 
называются координатами вектора. Например, вектор 
имеет координаты 0, -2, 1, 5.
Геометрически можно изобразить только одномерные (направленные отрезки на прямой), двумерные (на плоскости), трёхмерные (в пространстве) арифметические векторы.
Определение 2.Два вектора 
и 
с одним и тем же числом координат , 
будем считать равными в том и только том случае, когда 
Равенство векторов обозначается обычным образом 
.
Определение 3. Суммой двух векторов 
называется вектор
.
Вектор 
называется нулевым и обозначается 
. Вектор 
называется противоположным вектору и обозначается 
.
Свойства сложения векторов
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Определение 4. Произведением вектора на число k называется
вектор
.
Свойства умножения вектора на число
5. 
.
6. 
7. 
8. 
Упражнение. Даны векторы 
. Найдите вектор 
Определение 5.Множество всех п – мерных арифметических векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее восьми свойствам, называется арифметическим п – мерным векторным пространством и обозначается 
.
Определение 6. Некоторое множество U образует линейное пространство, если для любых его элементов 
определена операция сложения 
и для каждого элемента 
и любого действительного числа 
определено произведение 
причём эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 (см. выше).
Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п.
Определение 7.Подмножество S линейного пространства U называется подпространством, если выполнены следующие два условия:
1. для любых двух векторов и из S их сумма 
также принадлежит S
2. для любого вектора из S и любого действительного числа 
произведение 
также принадлежит S.
Очевидно, что подпространство S само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, определённых в U. У любого пространства существуют два подпространств, называемые тривиальными. Это само пространство U и нулевое подпространство(состоящее из одного нулевого элемента).
Например, в R3 (множество векторов) линейным подпространством будут все плоскости и все прямые, проходящие через начало координат.
Упражнение. Выяснить является ли множество S – множество решений неравенства 
линейным подпространством в R3.
Определение 8.Вектор 
называется линейной комбинацией векторов
, если
,
где 
- действительные числа.
Определение 9.Множество всех линейных комбинаций векторов 
называется линейной оболочкой векторов и обозначается 
.
Упражнение. Найти линейную оболочку векторов 
и проверьте, принадлежит ли этой оболочке вектор 
, если 
.
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 954;