Аксиомы отделимости и отвечающие им пространства.

Аксиомы отделимости представляют собой дополнительные ограничения, которые часто накладываются на топологические пространства для того, чтобы приблизить их свойства к привычным свойствам n–мерных арифметических пространств.

Аксиома T0 – аксиома Колмогорова: для любых его двух различных точек x, y, по крайней мере, у одной есть окрестность, не содержащая второй точки.

Можно дать следующие эквивалентные формулировки:

любое одноточечное множество замкнуто;

любое конечное множество замкнуто.

Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T0, называется T0–пространством.

Аксиома T1: для любых двух различных точек x и y существует окрестность точки x, не содержащая точки y, и окрестность точки y, не содержащая точки x.

Пространства, удовлетворяющие аксиоме T1, называются T1–пространствами.

При этом замкнутые множества в T1–пространствах могут быть определены как множества, содержащие все свои предельные точки.

Аксиома T2 или хаусдорфова аксиома отделимости: любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.

Пространство, удовлетворяющее аксиоме, называется T2-пространством (илихаусдорфовым, или отделимым).

Аксиома T3: у любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности.

Аксиома T4: у любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности.

Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам T1 и T3, называется регулярным, а аксиомам T1 и T4нормальным.

 

Самостоятельно.

Привести примеры пространств, удовлетворяющих сформулированным аксиомам, а также примеры пространств, не удовлетворяющих им. Дать определения рассмотренных в этом пункте пространств в «чистом» виде, без использования ссылок на соответствующие аксиомы.

 

Можно показать, что из аксиомы T1 следует аксиома T2, но из T1 не следует ни T3, ни T4.

Топологическое пространство, не удовлетворяющее аксиоме T1, не достаточно хорошо устроено с точки зрения классического анализа. Одноточечное множество может быть в нем незамкнуто, а конечное множество может иметь предельные точки.

В хаусдорфовых пространствах с первой аксиомой счетности естественным образом определяются понятия сходимости последовательности и ее предела, после чего дается определение операций над множествами и понятие непрерывного отображения, которые совпадают с соответствующими определениями для метрических пространств.

 








Дата добавления: 2016-06-02; просмотров: 1569;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.