Аксиомы отделимости и отвечающие им пространства.

Аксиомы отделимости представляют собой дополнительные ограничения, которые часто накладываются на топологические пространства для того, чтобы приблизить их свойства к привычным свойствам n–мерных арифметических пространств.

Аксиома T₀ – аксиома Колмогорова: для любых его двух различных точек x, y, по крайней мере, у одной есть окрестность, не содержащая второй точки.

Можно дать следующие эквивалентные формулировки:

любое одноточечное множество замкнуто;

любое конечное множество замкнуто.

Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T₀, называется T₀–пространством.

Аксиома T₁: для любых двух различных точек x и y существует окрестность точки x, не содержащая точки y, и окрестность точки y, не содержащая точки x.

Пространства, удовлетворяющие аксиоме T₁, называются T₁–пространствами.

При этом замкнутые множества в T₁–пространствах могут быть определены как множества, содержащие все свои предельные точки.

Аксиома T₂ или хаусдорфова аксиома отделимости: любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.

Пространство, удовлетворяющее аксиоме, называется T₂-пространством (илихаусдорфовым, или отделимым).

Аксиома T₃: у любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности.

Аксиома T₄: у любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности.

Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам T₁ и T₃, называется регулярным, а аксиомам T₁ и T₄ – нормальным.

Самостоятельно.

Привести примеры пространств, удовлетворяющих сформулированным аксиомам, а также примеры пространств, не удовлетворяющих им. Дать определения рассмотренных в этом пункте пространств в «чистом» виде, без использования ссылок на соответствующие аксиомы.

Можно показать, что из аксиомы T₁ следует аксиома T₂, но из T₁ не следует ни T₃, ни T₄.

Топологическое пространство, не удовлетворяющее аксиоме T₁, не достаточно хорошо устроено с точки зрения классического анализа. Одноточечное множество может быть в нем незамкнуто, а конечное множество может иметь предельные точки.

В хаусдорфовых пространствах с первой аксиомой счетности естественным образом определяются понятия сходимости последовательности и ее предела, после чего дается определение операций над множествами и понятие непрерывного отображения, которые совпадают с соответствующими определениями для метрических пространств.