Определение гладкого многообразия

Понятие гладкого многообразия является одним из центральных понятий топологии и современного анализа.

Способ введения координат на множестве можно обобщить, не предполагая, что оно лежит в пространстве Rⁿ. Развитие этой идеи приводит к понятию гладкого многообразия.

Пусть X – топологическое пространство, U - открытое множество в X.

Определение. n-мерной картой в топологическом пространстве (X,t) называется открытая область U этого пространства, гомеоморфная n-мерному арифметическому пространству Rⁿили замкнутому полупространству ,взятая вместе с конкретным гомеоморфизмом j.

Таким образом, карта – это пара (U, j), где j: X®Rⁿ или j: X® .

Тогда координатами любой точки xÎU естественно считать стандартные координаты (x₁(x),x₂(x),…,x_n(x)) точки j^-1(x) в пространстве Rⁿ или в полупространстве . Для всякой точки xÎU карту (U, j) будем считать также картой точки x.

Область U называется координатной окрестностью n-мерной карты.

Определение. n-мерным топологическим многообразием называется связное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, для которого существует покрытие, состоящее из координатных окрестностей n-мерных карт.

Такое покрытие называется атласом многообразия.

Примеры: 1.(Rⁿ,t_{естеств.}) – многообразие, минимальный атлас которого состоит из одной карты.

2. n–мерное аффинное пространство A_n, гомеоморфное (Rⁿ,t_{естеств.}), является многообразием, в котором любая аффинная система координат определяет карту, покрывающую все многообразие.

3. n– мерное евклидово пространство Eⁿ, топология которого индуцируется метрикой, гомеоморфно (Rⁿ,t_{естеств.}) и, следовательно, является многообразием.

Из сформулированных выше определений вытекает, что в координатной окрестности каждой n-мерной карты введена некоторая (локальная) система координат, аналогичная аффинной системе координат в A_n.

Вообще, пусть (U, j), (V, y) – две карты в X и UÇV¹Æ. Тогда каждой точке xÎUÇV отвечают две системы координат

(x₁(x),x₂(x),…,x_n(x)) - координаты точки j ^-1(x)Îj ^-1(UÇV)

и

(h₁(x),h₂(x),…,h_n(x)) - координаты точки y ^-1(x)Îy ^-1(UÇV),

которые, вообще говоря, различны. Обе системы координат равноправны в том смысле, что существует гомеоморфизм перехода, связывающий обе системы координат и позволяющий выразить одни из них непрерывно через другие.

Рассмотрим множество карт некоторого атласа многообразия и соответствующие формулы перехода для пересекающихся карт.

Определение. Общий класс гладкости всех функций перехода от одной системы координат к другой называется классом гладкости многообразия и состоящего из соответствующих карт атласа.

Таким образом, говорят о многообразии класса гладкости C^r.

Можно дать и другое эквивалентное определение топологического многообразия. Для этого нам понадобятся некоторые вспомогательные определения.

Определение. Топологическое пространство называется локально евклидовым размерности n, если каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной арифметическому пространству Rⁿ или замкнутому полупространству .

Определение. Точки локально евклидова пространства, обладающие окрестностями, гомеоморфными Rⁿ, называются внутренними, а остальные – краевыми.

Внутренние точки составляют внутренность пространства, а краевые – его край или границу.

Свойства локально евклидовых пространств

1.Край локально евклидова пространства размерности n есть локально евклидово пространство без края размерности (n-1).

2.Локально евклидово пространство связно тогда и только тогда, когда связна его внутренняя часть.

Примеры: 1. Числовая пряма, евклидовы плоскость и пространство являются локально евклидовыми пространствами, не имеющими края.

2.Цилиндр – локально евклидово пространство с краем. Точки вида 1 имеют окрестности, гомеоморфные только замкнутому полупространству , следовательно, это краевые точки. Точки вида 2 имеют окрестности, гомеоморфные как пространству Rⁿ, так и полупространству , следовательно, это внутренние точки. Край цилиндра не связен.

Определение. Топологическим многообразием называется локально евклидовое пространство, если оно хаусдорфово и имеет счетную базу.

Определение. Многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края.

Определение. Многообразие называется открытым, если оно не имеет компактных компонент.

Примеры: 1.Прямая, открытый интервал, парабола, окружность, эллипс – одномерные многообразия.

2.Любая область на плоскости, сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор – двумерные многообразия.

3. n–мерное евклидово пространство или любая область в нем - n-мерные многообразия.

4.Поверхность двуполостного конуса не является многообразием, так как вершина конуса, в которой сходятся две его полости, не имеет окрестности, гомеоморфной шару или замкнутому полушарию.

5.Аффинная плоскость – открытое двумерное многообразие.

6.Полуоткрытый прямоугольник – топологическое многообразие, не компактен, имеет край.

Свойства многообразий

1.Открытое подмножество n–мерного многообразия есть n–мерное многообразие.

Пример.Подмножество цилиндра без ограничивающих окружностей есть открытое многообразие, не смотря на то, что у самого цилиндра был край.

2.Внутренняя часть n–мерного многообразия есть n–мерное многообразие без края.

3.Край n–мерного многообразия есть n–мерное многообразие без края.

4.Край компактного многообразия есть замкнутое многообразие.

Например, цилиндр с краем.

5.Многообразие локально компактно.

6.Многообразие метризуемо.