Свойства определенного интеграла.

1) - это свойство считается по определению.

2) - по определению.

3)Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. .

4) если эти интегралы существуют.

Доказательство:

1. Пусть a < c < b. Выберем разбиение отрезка [a; b] таким образом, чтобы точка с всегда попадала в это разбиение, тогда

где: берется по всем промежуткам, находящимся левее точки с, а - по всем промежуткам, находящимся правее точки с

2. Пусть a < b < c

5)Определенный интеграл от суммы и разности функций равен соответственно сумме или разности интегралов этих функций, если они существуют, т.е.

. Это свойство вытекает из того, что предел суммы или разности равен соответственно сумме или разности пределов.

6)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

. Это свойство вытекает из того, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.

7)Пусть на промежутке [a; b] между функциями и выполнено неравенство: , тогда такое же неравенство будет выполнено между определенными интегралами этих функций по промежутку [a; b] .

Доказательство: , тогда, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем, что предел больше или равен нуля.

Теорема о среднем.

Пусть на промежутке [a; b] имеется функция и, функция определена и сохраняет знак на промежутке [a; b], тогда внутри промежутка [a; b] найдется такая точка х0, что будет выполнено следующее неравенство: .

Доказательство:

1) ≥ 0, тогда поскольку функция непрерывна, то из теоремы Вейерштрасса вытекает, что она принимает на промежутке [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения, т.е. .

Тогда, домножая на неотрицательную функцию , получим:

Используя свойство №7 получим:

Дальше возможны два случая:

а) , тогда утверждение теоремы вытекает из неравенства (*).

б) Пусть , тогда разделим на этот интеграл неравенство (*)

, но тогда, по второй теореме Коши о непрерывных функциях, в какой-то точке х0 значение функции в точности равно , т.е.

2) < 0

записывая теорему о среднем для функции - и затем убирая знак (-) получаем, что доказан и этот случай.

Следствие: пусть =1, тогда








Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 634;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.