Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна при а ≥ х, тогда производная от определённого интеграла от функции с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования, т.е. .

Доказательство:

Из теоремы Барроу вытекает связь между определенным и неопределенным интегралами, а именно: определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных функции . Обозначим эту первообразную через +с, где - это любая их первообразных , а значение ‘с’ находится, т.е. .

Запишем полученное равенство при х = а.

. Подставим полученное значение ‘c’ в формулу: - формула Ньютона – Лейбница.

Эту формулу часто пишут в таком виде:

- символ подстановки (из верхнего предела отнимаем нижний).

Пример: найти площадь между параболой у = 4 – х² и осью Ох.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Сокращенная формула:

Пример: вычислить интеграл.

Мы получили уравнение, из которого можно найти интересующий нас интеграл: