Несобственные интегралы.

Определение: несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования называется предел от определенного интеграла, вычисленный при условии стремления к бесконечности верхнего предела интегрирования, т.е. .

Если существует конечное значение данного предела, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Определение: аналогично вводятся несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом интегрирования и с обоими бесконечными пределами интегрирования, а именно:

.

Замечание: несобственные интегралы с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования называют также несобственными интегралами первого рода.

Пример:

Мы получили, что площадь бесконечной фигуры равна 1. эту площадь надо понимать, как предел площадей конечных фигур, ограниченных вертикальными прямыми, когда правая граница фигуры стремится к бесконечности.

Вычисление несобственных интегралов вида:

Замечание: в качестве нижнего предела интегрирования можно брать любое положительное число.

P > 1

В этом случае (при p > 1) данный интеграл сходится.

P < 1

= все вычисления проводятся также, как в предыдущем пункте. После вычислений получаем:

При p < 1 интеграл расходится.

3) p = 1

При p = 1 интеграл расходится.