Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения с осями.

4. Найти промежутки монотонности и точки экстремума.

5. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба.

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти некоторые дополнительные точки (при необходимости)

8. Построить график функции.

Лекция 9 Интегральное исчисление функции одной переменной

(Тема 3.3.)

План лекции

Первообразная и неопределенный интеграл и их свойства.

Интегрирование методом подстановки и по частям.

Интегрирование тригонометрических функций.

Определенный интеграл, его основные свойства.

Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом.

Приложения определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Определение: первообразной функции называется функция F(x), производная от которой равна исходной функции, т.е. F(x) : F’(x) = .

Операция нахождения первообразной функции является обратной по отношению к нахождению производной.

Пусть = x³, найти F(x) = ? ;

Утверждение: если первообразная для , то +с тоже первообразная для .

Доказательство:

Утверждение: если F₁(x) и F₂(x) первообразные , то они отличаются друг от друга на const: F₁(x) - F₂(x) = с

Доказательство:

Определение: неопределённым интегралом функции называется вся совокупность её первообразных.

неопределённый интеграл.

, где - любая первообразная для .

Таблица основных неопределённых интегралов.